Оглавление:
Производная по направлению и градиент
Пусть функция определена в области
. содержащей точку
. Зададим некоторое направление
косинусами углов
и
, образованных лучом
с осями
и
. При перемещении в направлении
точки
в точку

функция получит приращение


Обозначим через — величину перемещения точки
(см. рис. 5.3). Тогда, под производной
функции
в заданном направлении
понимается предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения, когда последнее стремится к нулю:

Величина производной ответствует скорости изменения функции
в направлении
. Формула для вычисления производной функции
в заданном направлении
имеет вид

Очевидно, что частные производные и
представляют производные по направлениям, параллельным осям
и
соответственно.
Градиентом функции называется вектор с координатами
. Рассмотрим скалярное произведение векторов
и единичного вектора
:

Сравнивая последнюю формулу с формулой производной по направлению, делаем вывод, что производная по направлению есть скалярное произведение вектора градиента и единичного вектора, задающего направление
:

Известно, что скалярное произведение двух векторов максимально, если они сонаправлены. Следовательно, градиент функции в данной точке соответствует направлению максимальной скорости изменения функции в этой точке. Можно доказать, что градиент функции в данной точке перпендикулярен линии уровня, проходящей через эту точку.
Пример:
Задана функция и координаты двух точек на плоскости:

Требуется определить направление максимальной скорости изменения функции в точке и скорость изменения функции в направлении вектора
в этой точке. Построить единичные векторы градиента функции и направления
в точке
в системе координат
.
► 1. Используя таблицу основных производных и правила дифференцирования сложной функции, найдем частные производные первого порядка и
для указанной функции:

Вычислим значения частных производных в точке (—4; —1):


Направление максимальной скорости изменения функции двух переменных задается вектором градиента
. Так как значения частных производных в точке
уже вычислены в предыдущем пункте, то можем записать искомый вектор:

Для вычисления единичного вектора , сонаправленного с вектором
разделим координаты вектора градиента на его модуль в этой точке:

- Скорость изменения функции
в направлении вектора
определяется ее производной в указанном направлении
:

где и
— направляющие косинусы вектора
равные:

Таким образом

Единичный вектор в направлении
имеет приближенное значение:

В результате, скорость изменения функции в направлении
в точке
составит:

Вывод: Направление вектора и направление максимальной скорости изменения функции
в точке
не совпадают:

Следовательно, скорость изменения функции в точке
в направлении вектора
не является максимальной.
Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны: