Оглавление:
Достаточное условие дифференцируемости
Если функция обладает непрерывными частными производными
и
в данной области, то эта функция дифференцируема в этой области и дифференциала ее дифференциал выражается формулой

В силу определения дифференциала при малых и
приращение дифференцируемой функции можно приближенно заменить ее дифференциалом. Отсюда имеем приближенное равенство

Пример:
Задана функция двух переменных и две точки:

Вычислить: 1) приближенное значение функции в точке
с помощью дифференциала
; 2) значение функции
непосредственно, без помощи дифференциала; 3) относительную погрешность (в процентах), возникающую при замене приращения функции
ее дифференциалом
в точке
.
► 1. Найдем частные производные функции :

Подставляя координаты точки получим:

При

найдем дифференциал функции в точке :

Далее по формуле находим приближенное значение функции
в точке
:

- Вычислим теперь значение функции
в точке В
непосредственно:

- Заметим, что если
— точное, a
— приближенное значение некоторой величины, то относительная погрешность приближенного значения
в процентах определяется по формуле:

В данном случае относительная погрешность приближенного значения равна:

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Непрерывность и частные производные в математике |
Полное приращение и дифференциал в математике |
Производная по направлению и градиент в математике |
Экстремум функции двух переменных в математике |