Производная по направлению. Градиент

Производная по направлению. Градиент

• Сначала рассмотрим функции трех независимых переменных u=f (x,y, z). Эта функция определена в некоторой окрестности точки Afo (x°, Y°, z°) в пространстве£3 и дифференцируема в точке Mo. Рассмотрим все виды лучей, выходящих из точки L10. Каждый такой луч задается единичным вектором e с координатами (cos a, cos fl, cosy)*и определяет определенное направление. *Из курса геометрии анализа известно, что угол координатных осей, где единичный вектор e равен a, (3, y, coor) соответственно- 16 мешок 72482CH. 12. Функции

некоторых переменных Измените некоторые лучи, выходящие из точки Mr, и определите их в единицах вектора e в координатах cos a, cos0 и cosy. Принимая линию, содержащую этот луч, рассмотрим вектор или направленный сегмент Af0Af в любой точке, отличной от Mr M, и единичный вектор e=(cosa, cos0, cosy), определенный _очевидно,что вектор afoaf имеет координаты(/cos a, I cos0, cos y). С другой стороны, если координаты точки М (Х, Y, Z), то вектор Af0Af имеет координаты равны (х-х°, у°, з-з°). Если мы сравниваем два соотношениям, полученным для координаты вектора AfoAf, тогда мы получим равенство х=х°+/коза, г=г°-[-lcos0, з=з°-]-л уютным.

(12.34) и(12.34) проходят через точку Af0, и на прямой, определяемой Людмила Фирмаль

единичным вектором e=(cosa, cos0, cosy), функция u=f (x, y, z) называется u=f(x° — / cos a, z/°++cos0, Zo-H y). О п р ЕД е л я Е1. Производная этой комплексной функции от переменной I, взятая в точке 1=0, состоит из p r o и z, o d n o y f u N K C и u=f(x, y, z), l e n и y N AP R a Таким образом, по определению=-г-(МО), потому что а+ в — J — (МО) cos0 4-(Af0), потому что у.(12.35 утра)) де ДХ±делать дз Введено понятие градиентной производной в данной точке функции Mo (ho, yo, z0) U=F(X, Y,Z). О П Р Е Д Е Л Е Н и Е2. Функция u=f (x, y, z) в заданной точке Af0 (x°, y°, z°) называется вектором, координаты которого принимают следующий вид Диди . . . Диди . . . — мхо. —(L10), — Af0. ДХ Ду ДЗ Для обозначения градиента функции u=f (x, y, z)обычно используется символ _ _ _ _ _ _ _ grad. Этот вектор dinates

является cos a cosy, cos0. Значения осей / сегментов направления, определяемые единичным вектором e, равны длине сегмента Mom, а векторы L4ol4 и e ориентированы в одном направлении§4. Производные и дифференциал 483 Итак, по определению, град и (МО)=(L1o), (МО), (L1o)j. Поскольку скалярное произведение двух векторов равно сумме произведения названных координат этих векторов, формула для производной направления, определяемого вектором e (12.35), не применяется.、 Так что мы получаем его — ^- =(e, с выпускниками). (12.37)）) де С помощью знака равенства(12.37) мы подтверждаем, что наклон функции I=[(x, y, z) в точке Mo

• характеризует направление и величину максимального роста этой функции в точке Mo. Точнее, доказываются два утверждения: 1) производная функции u=f(x, y, z) в указанной точке, точка, определяемая наклоном этой функции. Чтобы доказать эти два утверждения, мы находим, что скалярное произведение двух векторов может быть переписано следующим образом (12.37), таким образом, выражение длины этих векторов Косинусом угламежду ними. *Этот факт установлен в аналитической геометрии. = / e / / град и / cos f, де Где f-угол между вектором e и град. Учитывая, что|e|=1, — ■=I град u / cos f. де Оба утверждения (1) и (2) вытекают из последнего равенства. Ди. Фактически, максимальное значение производной — — — — полу-де В

C получается при COF=1, то есть когда направление e совпадает с направлением grad и дифференциал di/de в этом направлении,/g рад u|. Два проверенных утверждения позволяют утверждать, что наклон не зависит от выбора системы координат(для и направления- 16 * 484CH. 12. Функции некоторых переменных Причем длина вектора град и длина каждой указанной точки инвариантны относительно выбора системы координат). Для уточнения геометрического смысла векторного града рекомендуется ввести понятие e R x n o n o с функцией u=f (x, y, z) t e y U R o. f (x,y,z)=c=удовлетворяет соотношению const. Чтобы построить касательную плоскость, если каждая точка

Af0 на уровне f (x,y z)=c (x°, y°, z°), убедитесь, что вектор нормали такой Людмила Фирмаль

плоскости является вектором (12.36), то точки M вектора grad и поверхности уровня f (x, y, z)=c находятся в этой поверхности. это В пункте 3 настоящего пункта для поверхности, определяемой формулой f (x, y)=z, вектор нормали касательной плоскости в каждой точке этой поверхности равен \DX l (коррекция уравнения, y, z)=c, касательный плоскостной нормальный вектор/df df df\ ‘ каждая точка этой плоскости равна I—• — > — I = выпускники и. **Поскольку все координаты единичного вектора не превышают единицы, для каждой из этих координат существует угол SC, такой, что соответствующие 1=I координаты являются cos SC (O^ — SC^). Таким образом, единичный вектор e (cos ai, cos a2,…. … потому что-в). Значение, потому что Ди, потому ст2,…. потому что меня часто называют индуктивной Косин

ус. Точно так же определяются производные направления и градиенты дифференцируемого l1o(ll0,x2°)в данной точке…t) функция переменной T. Ди. Для таких функций дифференциал в данной точке равен Af0 (xi0, x2°,… x°t) направление, определяемое единичным вектором e=(cosai, cos a2,…комплексная функция u= / ‘(xi0++ / co sai, x2°~N cos a2, вводится как нормальная производная переменной I…. x°m. 4-Z cos aTO), взятый в/=0. Заданная точка Mo (XL x2°,… …Функция y=/(X1, x2,…Производная в этой точке в направлении, определяемом вектором e=(cosai, cosa2, HT)…- сказал он…. cosam) равен следующим значениям -Ди= — Ди(,л,1Н, Ди,Ди,ч Ноль. De DX)COS+—(L1o) cos a2+… + — (МО) Кос. г DH2DHT ( * ) 12.35 Градиент, который может быть

дифференцирован в данной точке Mo (Xi°, x2°,… …u=f (xi, x2, X°, t) функция…Vector, called, HT), обозна- * Напомним, что вектор нормали-это вектор, перпендикулярный этой плоскости. Аналогичным образом подтверждается, что для поверхности, определенной в пункте 5. Производные более высокого порядка и производные 485 С градом и координатами, представленными символами Поскольку скалярное произведение двух векторов пространства Et равно сумме произведений одних и тех же координат этих векторов, то эквивалентность ( * ) 12.35 позволяет утверждать это. * Для любых двух векторов a и B в пространстве E справедливо неравенство Коши-Буняковского (a, B) 2^(a, a) (B, B) или то же самое,|(a, B) / <3< / a| / B|, и в этом неравенстве знак равен a и B. Фактически, для любого

реального L справедливо неравенство (La-B, La-B)=L2 (a, a)—2L (a, b)+(b, B)^0, и в этом неравенстве, если вектор La-b равен нулю, т. е. если A и b взаимно нулевые векторы, то доказанное неравенство явно верно с квадратными тремя членами L2 (a, знак).)- 2L (A, B)+(B, B) дискриминант равен неравенству 4 [(a, B) 2—（ = С выпускниками). Из неравенства Коши-Буняковского, которое справедливо для любых двух векторов пространства Et*, следует, что Dede< / e / / grad » I= / gradu|, И знак переходит в знак=только в том случае, если векторы e и grad коллинеарны. Он будет иметь те же две характеристики, что и вектор grad и в пространстве E 1)и 2), что и в пространстве E3. Заметим, что для функции u=f (x,y)двух переменных x n y единичный вектор e, определяющий направление точки L1o, имеет координаты cos a и sin A. Ди-потому что на DH], — — — д-ю—sin1a.

Смотрите также:

Математический анализ 1 курс

Случай функции двух переменных	Непрерывность функции m переменных по одной переменной
Понятие экстремума функции m переменных. Необходимые условия экстремума	Частные производные высших порядков