Предел функции
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
, кроме быть может самой точки 
.
Определение предела функции. Число 
называется пределом функции 
в точке при 
стремящимся к , если для любого положительного числа 
найдется такое положительное число 
, что для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
. Геометрическая интерпретация определения предела функции в точке состоит в том, что для всех , достаточно близких к а значение функции 
как угодно мало отличаются от числа .
В более компактной форме факт существования предела функции в точке можно записать так:
Свойства пределов функций. Будем считать, что пределы функций
существуют. Тогда выполняются следующие свойства:
- Предел суммы или разности двух функций равен сумме или разности их пределов:
- Функция может иметь только один предел при
:
- Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
- Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
- Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:
- Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
- Если в окрестности точки значения первой функции меньше значений второй, то и предел первой функции не превосходит предела второй при :
- Если
- то и предел сложной функции
Если функция определена на промежутке 
, то число называется пределом функции при 
, если для любого положительного числа найдется такое положительное число 
, что для всех , удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
. В более компактной форме факт существования предела функции при можно записать так:
Число 
называется пределом функции слева в точке , если для любого положительного числа найдется такое положительное число 
, что при 
выполняется неравенство 
. В более компактной форме факт существования левостороннего предела функции в точке можно записать так:
Число называется пределом функции справа в точке , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что при 
выполняется неравенство . В более компактной форме факт существования правостороннего предела функции в точке можно записать так:
Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
| Предел последовательности в математике |
| Функция одной переменной в математике |
| Бесконечно малые и бесконечно большие функции в математике |
| Раскрытие неопределённостей в математике |
