Оглавление:
Общая схема исследования функции и построения ее графика:
- Найти область определения функции (
). Исследовать поведение
в граничных точках
.
- Установить, не является ли
четной (или нечетной).
- Является ли
периодической?
- Исследовать
на непрерывность. Найти точки разрыва и установить их характер. Указать вертикальные асимптоты.
- Найти уравнения наклонных асимптот.
- Найти нули
, т.е.
:
, и
. Найти интервалы знакопостоянства.
- Вычислить
. Исследовать
на монотонность и экстремумы.
- Вычислить
. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба.
- Свести результаты в таблицу, добавить значения функции в характерных точках (экстремума, перегиба и т.д.) и построить эскиз графика
.
К числу характерных точек графика относятся точки пересечения его с осями координат. В случае непрерывной функции для нахождения абсцисс точек пересечения графика с осью
нужно найти корни уравнения
, лежащие в области существования графика. Удаляя из этой области найденные точки, получим разбиение области определения функции на интервалы знакопостоянства.
Из теоремы Ферма следует, что в точках локального экстремума непрерывной функции , если производная существует. Точки, удовлетворяющие этому условию, называются критическими точками функции
. Достаточные условия локального экстремума в критической точке
заключаются в смене знака
при переходе через эту точку из левой ее полуокрестности в правую. При этом смена знака с (+) на (-) отвечает максимуму, а смена знака с (-) на (+) — минимуму. Другой достаточный признак экстремума связан со знаком второй производной в критической точке. Если дважды дифференцируемая функция такова, что
,
, то
— точка локального максимума. Если же
,
, то
— точка локального минимума. На практике для нахождения интервалов монотонности нужно удалить из области определения функции все точки локального экстремума. Оставшееся множество состоит из интервалов монотонности. О возрастании и убывании функции на этих интервалах можно судить по знаку
.
Дуга графика на интервале называется выпуклой вверх, если она расположена под каждой касательной к ней. Достаточным условием выпуклости вверх является
для всех
. Аналогично, дуга графика на интервале
называется выпуклой вниз, если она расположена над каждой касательной к ней. Достаточным условием выпуклости вниз является
для всех
.
Точки перегиба на графике дифференцируемой функции обладают свойством: по обе стороны от них график имеет разное направление выпуклости. Достаточным условием перегиба является существование в окрестности точки
и смена знака
при переходе через точку
. При этом
.
Вертикальные асимптоты к графику функции — это прямые вида
, такие, что хотя бы один из односторонних пределов этой функции при
равен бесконечности. Это может иметь место в точках разрыва второго рода либо в граничных точках области определения функции. Наклонная асимптота при
— это прямая
, где
. Аналогично определяется наклонная асимптота при
. Наклонные асимптоты возможны только в случае, когда область определения функции не ограничена.
Пример 1.
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график: а)
, б)
Решение:
а) 1. Очевидно, что .
2. . Заметим, что
и
не является ни четной, ни нечетной.
3. Функция не является периодической , поскольку
.
Аналогично убеждаемся в том, что не является периодической функцией. Следовательно,
не является периодической функцией.
4. — точка разрыва. Найдем
.
прямая
является вертикальной асимптотой.
5. Найдем уравнения наклонных асимптот. Вычисления дают:

— наклонная асимптота при
.
6. Заметим, что и
при
.
7. Находим: . Тогда, исследуя знаки
методом интервалов, заключаем, что
возрастает на
и
и убывает на
. Таким образом, в точке
имеет экстремум:
. В точке
экстремума нет (почему мы не рассматриваем точку
?). Однако указанные особенности поведения функции еще не позволяют нам однозначно судить о виде графика
. Очевидно, что окончательный ответ на этот вопрос мы можем получить, только исследовав промежутки выпуклости
.
8. Находим: . Точка возможного перегиба —
, интервалы выпуклости —
и
. Установим знаки
на каждом из этих интервалов. Заключаем, что
выпукла вверх на
и выпукла вниз на
. Точка
является точкой перегиба.
9. Сведем полученные данные в таблицу 1. Добавим значение .
Таблица 1

Эскиз графика представлен на (рис. 19).
б) 1. Функция определена и непрерывна на .
2. Функция нечетная: . Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.
3. Не периодическая.
4. Точек разрыва нет, следовательно, нет вертикальных асимптот.
5. Ищем наклонные асимптоты:

(предел находится по правилу Лопиталя). Итак, наклонная асимптота имеет уравнение .
6. Очевидно, . График проходит через начало координат и других общих точек с осями координат не имеет. На
имеем
, следовательно, график расположен ниже оси абсцисс. На
имеем
, следовательно, график расположен выше оси абсцисс.
7. Исследуем функцию с помощью . Имеем
.
— критические точки. На
функция убывает, так как
. На (-1,1) функция возрастает, так как
. Следовательно,
— точка минимума,
;
— точка максимума,
.
8. Исследуем функцию с помощью . Имеем
. Отсюда
— точки возможного перегиба. На
— график выпуклый вверх. На интервалах
— график выпуклый вниз. Точки перегиба
. Значения функции в этих точках
,
.
9. Сводим результаты исследования в таблицу 2, пользуясь нечетностью функции, и строим эскиз графика (рис. 20).
Таблица 2



Пример 2.
Дан прямой круговой конус с радиусом основания
, образующая его наклонена к плоскости основания под углом
. Требуется вписать в
прямой круговой конус
наибольшего объема при условии, что вершина
совпадает с центром основания конуса
.
Решение:
Сделаем чертеж (рис. 21). Рассмотрим осевое сечение конуса . Пусть
— радиус основания вписанного конуса. Его высота
находится из прямоугольного треугольника
. Так как
, то
. Итак, объем вписанного конуса
. Найдем максимум этой функции на промежутке
. Производная
. Отсюда
или
. При
объем конуса
равен нулю. При переходе через вторую критическую точку производная
меняет знак с плюса на минус. Значит, объем конуса будет максимальным при
.
Ответ: . Объем конуса
составляет
объема конуса
.
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы: