Оглавление:
Общая схема исследования функции и построения ее графика:
- Найти область определения функции (
). Исследовать поведение 
в граничных точках . - Установить, не является ли четной (или нечетной).
- Является ли периодической?
- Исследовать на непрерывность. Найти точки разрыва и установить их характер. Указать вертикальные асимптоты.
- Найти уравнения наклонных асимптот.
- Найти нули , т.е.
: 
, и 
. Найти интервалы знакопостоянства. - Вычислить
. Исследовать на монотонность и экстремумы. - Вычислить
. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба. - Свести результаты в таблицу, добавить значения функции в характерных точках (экстремума, перегиба и т.д.) и построить эскиз графика .
К числу характерных точек графика относятся точки пересечения его с осями координат. В случае непрерывной функции для нахождения абсцисс точек пересечения графика с осью 
нужно найти корни уравнения , лежащие в области существования графика. Удаляя из этой области найденные точки, получим разбиение области определения функции на интервалы знакопостоянства.
Из теоремы Ферма следует, что в точках локального экстремума непрерывной функции 
, если производная существует. Точки, удовлетворяющие этому условию, называются критическими точками функции . Достаточные условия локального экстремума в критической точке 
заключаются в смене знака при переходе через эту точку из левой ее полуокрестности в правую. При этом смена знака с (+) на (-) отвечает максимуму, а смена знака с (-) на (+) — минимуму. Другой достаточный признак экстремума связан со знаком второй производной в критической точке. Если дважды дифференцируемая функция такова, что 
, 
, то — точка локального максимума. Если же , 
, то — точка локального минимума. На практике для нахождения интервалов монотонности нужно удалить из области определения функции все точки локального экстремума. Оставшееся множество состоит из интервалов монотонности. О возрастании и убывании функции на этих интервалах можно судить по знаку .
Дуга графика на интервале 
называется выпуклой вверх, если она расположена под каждой касательной к ней. Достаточным условием выпуклости вверх является 
для всех 
. Аналогично, дуга графика на интервале называется выпуклой вниз, если она расположена над каждой касательной к ней. Достаточным условием выпуклости вниз является 
для всех .
Точки перегиба на графике дифференцируемой функции обладают свойством: по обе стороны от них график имеет разное направление выпуклости. Достаточным условием перегиба является существование 
в окрестности точки и смена знака при переходе через точку . При этом 
.
Вертикальные асимптоты к графику функции — это прямые вида 
, такие, что хотя бы один из односторонних пределов этой функции при 
равен бесконечности. Это может иметь место в точках разрыва второго рода либо в граничных точках области определения функции. Наклонная асимптота при 
— это прямая 
, где 
. Аналогично определяется наклонная асимптота при 
. Наклонные асимптоты возможны только в случае, когда область определения функции не ограничена.
Пример 1.
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию 
и, используя результаты исследования, построить ее график: а) 
, б) 
Решение:
а) 1. Очевидно, что 
.
2. 
. Заметим, что 
и 
не является ни четной, ни нечетной.
3. Функция 
не является периодической , поскольку 
.
Аналогично убеждаемся в том, что 
не является периодической функцией. Следовательно, не является периодической функцией.
4. 
— точка разрыва. Найдем 
.
прямая 
является вертикальной асимптотой.
5. Найдем уравнения наклонных асимптот. Вычисления дают:
— наклонная асимптота при 
.
6. Заметим, что 
и
при 
.
7. Находим: 
. Тогда, исследуя знаки методом интервалов, заключаем, что возрастает на 
и 
и убывает на 
. Таким образом, в точке 
имеет экстремум: 
. В точке экстремума нет (почему мы не рассматриваем точку ?). Однако указанные особенности поведения функции еще не позволяют нам однозначно судить о виде графика . Очевидно, что окончательный ответ на этот вопрос мы можем получить, только исследовав промежутки выпуклости .
8. Находим: 
. Точка возможного перегиба — , интервалы выпуклости — 
и 
. Установим знаки на каждом из этих интервалов. Заключаем, что выпукла вверх на 
и выпукла вниз на . Точка является точкой перегиба.
9. Сведем полученные данные в таблицу 1. Добавим значение 
.
Таблица 1
Эскиз графика представлен на (рис. 19).
б) 1. Функция определена и непрерывна на 
.
2. Функция нечетная: 
. Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.
3. Не периодическая.
4. Точек разрыва нет, следовательно, нет вертикальных асимптот.
5. Ищем наклонные асимптоты:
(предел находится по правилу Лопиталя). Итак, наклонная асимптота имеет уравнение 
.
6. Очевидно, 
. График проходит через начало координат и других общих точек с осями координат не имеет. На 
имеем 
, следовательно, график расположен ниже оси абсцисс. На 
имеем 
, следовательно, график расположен выше оси абсцисс.
7. Исследуем функцию с помощью . Имеем 
. 
— критические точки. На 
функция убывает, так как 
. На (-1,1) функция возрастает, так как 
. Следовательно, — точка минимума, 
; — точка максимума, 
.
8. Исследуем функцию с помощью . Имеем 
. Отсюда 
— точки возможного перегиба. На 
— график выпуклый вверх. На интервалах 
— график выпуклый вниз. Точки перегиба 
. Значения функции в этих точках 
, 
.
9. Сводим результаты исследования в таблицу 2, пользуясь нечетностью функции, и строим эскиз графика (рис. 20).
Таблица 2
Пример 2.
Дан прямой круговой конус 
с радиусом основания 
, образующая его наклонена к плоскости основания под углом 
. Требуется вписать в прямой круговой конус 
наибольшего объема при условии, что вершина совпадает с центром основания конуса .
Решение:
Сделаем чертеж (рис. 21). Рассмотрим осевое сечение конуса . Пусть 
— радиус основания вписанного конуса. Его высота 
находится из прямоугольного треугольника 
. Так как 
, то 
. Итак, объем вписанного конуса 
. Найдем максимум этой функции на промежутке 
. Производная 
. Отсюда 
или 
. При объем конуса равен нулю. При переходе через вторую критическую точку производная 
меняет знак с плюса на минус. Значит, объем конуса будет максимальным при .
Ответ: 
. Объем конуса составляет 
объема конуса .
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
