Оглавление:
Поперечные колебания стержней
- Поперечная вибрация стержня. При составлении дифференциальных уравнений поперечных колебаний стержней мы исходим из дифференциальных уравнений криволинейной оси балок, записанных в виде(116.5): =г(з, Т). Единственное различие между
уравнениями(176.1) (116.5)и (176.1)состоит в том, что в последнем уравнении используется знак частной производной координат. Теперь, учитывая динамическую задачу,
мы должны предположить, что отклонение v является функцией двух переменных, которые Людмила Фирмаль
являются координатами z и времени. Уравнение (176.1) получено в случае равновесия пучка, но оно может быть применено в случае движения с использованием принципа Д’Аламбера. Нагрузка q{z, t) должна содержать силы инерции. Ускорение балочного элемента сечения с Z-координатами равно силе инерции элемента длины dz,
равной—^F d z^, поэтому сила инерции на единицу длины равна При отсутствии сжимающей силы, учитывающей только свободные колебания балки, введем эту формулу q в уравнение движения (176.1) и получим следующее дифференциальное уравнение поперечного колебания стержня: Г (^Е)+^5=о- Чтобы интегрировать это уравнение,
- мы повторно применяем метод разделения переменных в (з, Т)=Т(О, З (з).§ 176] поперечная вибрация стержня 387 Возьми: 7 (£J x Z»)» 4-qF7 ″ Z=0. Точки здесь показывают производную от времени, а штрихи-производную от координат. Давайте перепишем это уравнение следующим образом: Т(EJXZ «)»_ , T qFZ — • Он повторяет вывод, сделанный в том же случае относительно продольной вибрации. Получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: 7’+<2 в
7 ’=0, (EJXZ») » — qF Z=0. (176.2) первое (не нумерованное) выражение указывает, что co-это частота свободного колебания луча. Интегрируя второе уравнение и комбинируя граничные условия для определения констант, мы подтверждаем, что все эти константы не равны нулю, когда co принимает определенное значение на собственной частоте луча. Давайте договоримся считать собственные частоты по порядку. Следовательно, co, co, co,.. .
Каждому значению собственной частоты соевых бобов соответствует основная колебательная форма Zk (z), Людмила Фирмаль
а формула (176.2):1、 QFZkZ т д з=0. (176.4) Отчет Чтобы доказать это, следует отметить, что уравнение (176.3) можно интерпретировать как уравнение для статического изгиба балок распределенной нагрузкой qk, прочность которой равна co|QFZf t. аналогично, Z z z (z) представляет собой статическое отклонение балки от распределенной нагрузки co^qFZj. Эти два состояния луча распространяются с теоремой Бетти: я$З К и Ци Д з — $з и ж як(*)Д з Отчет 13 * 388 динамическая задача сопротивления материала[глава XVI Или,
приносит значение qk и qt, » J qFZkZ l d z^A^J QFZtZ k dz and. 0, 0. Поскольку Cofc7^coz, это равенство возможно только при выполнении условия (176.4). Подобно тому, как любая конфигурация системы с конечными степенями свободы представлена ее основной формой (параграф 172), на упругую линию балки всегда влияет основная форма ее вибрации. Функция, представляющая собой отклонение балки под действием нагрузки q (z) v (z). Функция v (z) удовлетворяет дифференциальному уравнению для изгиба (Ми JX используется в Υ=вопрос. Представьте себе V (z) в виде
бесконечного ряда: И V (z)=2Zk(z\u k. (176.5) вводит этот ряд в дифференциальные уравнения:- Теперь воспользуемся дифференциальным уравнением (176.3) для исключения производных функции ZK. Получаем:^u kakQFZk=q. Умножьте обе части этого уравнения на zt и интегрируйте его в длину луча. Благодаря условию ортогональности, единственному члену, который имеет индекс I, Этот член остается из ряда в левой части, благодаря условию нормализации azco ’ =qZt dz. И так оно и есть., Отчет
ДЗ Один» (176.6)§ 177] вибрация балки фиксированного сечения 3$9 Факторизация типа (176.5) является в некотором смысле обобщением факторизации Фурье тригонометрических функций. Если функция v (z)удовлетворяет тем же граничным условиям, что и функция Z k, и способна к четырем дифференцированиям, то ряд (176.5) сходится абсолютно и равномерно. Но достижение этих условий автоматически обеспечивается тем, что v (z) — это отклонение под действием нагрузки q (z), а q (z) — интегрируемая функция.
Смотрите также:
| Нижние оценки для частоты основного тона | Колебания балок постоянного сечения |
| Продольные колебания стержней | Способ Релея — Ритца в применении к поперечным колебаниям стержня |
