Полное приращение функции

Полное приращение функции

Полное приращение функции. На основе значения независимой переменной x = Xp y = y&r = r0, дающей все 3 приращения Dx, Dy и Dt, функция u = f (x, y, r) получает приращение Д » = А / (*«>Л-2О)= Л * О + Д *. УО + д. У » 2О + Д2)—а * часов. Л 2О)> Это называется полным приращением функции. В случае функции y = f (q) переменной 1, предполагая, что в точке x0 существует (конечная) производная f ’(x0), уравнение[82, (2)] справедливо для приращения функции. ду = Д / К)= Ф ’ (*О) * Г * + а * дл、 a зависит от D*, А a * 0 зависит от D; -» ■(). Это подразумевает установление аналогичной формулы для приращения функции u = f (x, y, r). Di = L / (*o. Y » 2o)= = Форекс(х, Мп 20). Ал + /;(^ 0,_y0,Р0) * Dу + Ф (* .У0, Р0). а•Д*р•Ду•Дг, (1） Где a, p, t1 зависят от Dx, Dy, Dt и стремятся к нулю вместе с ними. Однако на этот раз нам нужно ввести более жесткие ограничения на функциональность. 1°.Если частные производные fx (x, y * 2), fy (x> y, r), fx, y, r) присутствуют не только в точке (x & y0 r0), но и в этой конкретной окрестности, более того, они непрерывны (как функция X, y, r) в 5-й точке eu, и уравнение (1) оживает.

Производные имеют тенденцию быть производными с правой стороны, принимая во внимание непрерывность, предусмотренную для этих значений переменных, а величины a, p, k стремятся к нулю. Людмила Фирмаль

• Чтобы доказать это, представим полное приращение функции Di в виде: Ди = В (*О + Д *, У0 + Ду.2О + ДГ)—а * о> а + Дю. 2О + ДГ)] + + (/( ■ «» .L + Du » 2v + L2) / (o. Vo> go + Dg) 1 + + [/(o. A-2o + Dg) A * 0> V0> 2″). Каждое из этих различий представляет собой определенное приращение функции только для 1 переменной. Мы предполагаем, что существует частичная производная вблизи точки (q; 0, y0), поэтому, если D, Dy и Dt достаточно малы, мы можем применить формулу конечного приращения к этим разностям индивидуально[n°102]); получить： К = / * (*о» б 6 КХ, у (ду,^ о + ДТ:) Ах + «Б / г(х0> У0 + АУ, А Р0^) * АУ—/ Р(ху yb2o -) АР）• Если вы положите его здесь А(х0 + 9 ДХ, _y0 + АУ.+ Л*) = FX(для Х * е, РН)+ с、 （(**++^®1АУ. идти + ДГ)= /; (хп, У0,Р0)+ п、 / * М * с версии v0,о°+г))=г(х0,^°, р)+ м、 Тогда мы приходим к уравнению Ди(1). Подобно A — 0, D_y-> 0, D-r-> 0, аргументы левой производной этих уравнений имеют тенденцию быть Xo, Yo * 2o (потому что они являются нормальными дробями), и поэтому они сами не являются.

• Теперь с доказательствами покончено. Доказанная теорема, кстати, дает возможность установить 2°.Наличие и непрерывность частных производных в одной точке подразумевает непрерывность в этой точке самой функции. На самом деле, если Дх > 0, ду * 0, ДГ» −0, и, очевидно, дн -* ■ (). Чтобы описать выражение (1) в более компактной форме, введем следующее выражение: Р = \ / dx8 и 4г * + а ^ 8 Расстояние между точками (x&y & r0) и(bt | & x, yy -| y, 2o + A^)Используя его, вы можете написать: индикатор ADX + pDy +?Д2 =(АУ + С.^»«.у) П. Выражение в скобках представлено буквой Е.、 И ВХ п ду + ^ Ар = ЕР. *) Например, если взять первое отличие, то его можно считать приращением функции f (x, yo4 * yy> r ^^ y)от 1 переменной x. это соответствует переходу от x = x9 к x = x9 4 * Ax.

Производная этой функции относительно x, то есть/ ’X (x, y\ -Yy, r0 + Dt), зависит от предположения、 Для всех значений x в [интервале x0 + Dx], таких что могут быть применены выражения конечного приращения. e зависит от DL;, Du, D? В случае Дд он стремится к нулю; -«•), ду »-0, ДГ > О или P--0 Короче говоря, поэтому выражение( 1) можно переписать в следующем виде: Ду = Д / (>Г * 2О)= / х(х0,у», Р *) Д * + / У * О> УО> го) * ДУ «Б / г С * О «Г о» 20) * Да-| Е * П»(2） Где e * −0 Как p * 0.Количество ep, очевидно, может быть записано как o (p) (если вы расширите обозначение, введенное в разделе 64, до функции некоторых переменных). Заметим, что в рассуждении, если приращение D, Du, Yes по отдельности или все сразу равно нулю, то дело обстоит не официально excluded. So [Аналогичные замечания в воде № 82].

Кстати об ограничительных отношениях, мы понимаем их в широком смысле и не исключаем возможности того, что эти приращения исчезнут в ходе изменения. Людмила Фирмаль

• Доказательство предыдущей теоремы требовало от функции большего количества переменных, чем для функции 1 variable. To покажем, что Формула (1) или (2) не может быть применима здесь без выполнения этих требований, в заключение рассмотрим следующий пример(для простоты мы будем иметь дело только с 2 независимыми переменными): т ы)= ДГ * г (если π9 -} я> 0）、/（0、0）= 0 Определите функцию f (x, y) в уравнении Эта функция непрерывна по всей плоскости. За очки (0, 0) / х(х> г）Х *(ДГ *-г*) (ДГ * + г ） * г(х> г） 2XU * (RT7? ’ следуя из n°130 4). Кроме того, существуют частные производные для всей плоскости, как для x, так и для y. для g: A / ua 0, очевидно Чтобы быть точным, например, введите y = q—>-> 0^. Форма (1) или (2) функции в точке (0, 0) не имеет значения hold. In факт, напротив, предполагающий、 В начальной точке、/ ^（0、0）= / ^（0、0）= 0;откуда ты это знаешь?

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Равномерная непрерывность.	Производные от сложных функций.
Частные производные.	Полный дифференциал.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.