Оглавление:
Площадь плоской фигуры
- Площадь плоской фигуры. Чтобы ввести понятие площади плоской фигуры, мы исходим из особого специфического типа плоской фигуры, так называемой м н о й Г О Л Ь Н Ы Й формы. На плоскости назовем множество, состоящее из конечного числа ограниченных полигонов на этой плоскости. Из курса средней школы известно понятие полигональной сферы. В дальнейшем символом C (P) будет являться площадь многоугольника P. Напомним, что площадь многоугольника является неотрицательным числом с тремя свойствами 1°(A d и b d и B n o S t b). Если Px и P2-это две полигональные фигуры, которые не имеют общей внутренней точки, А символ PiU^2 означает объединение множества этих фигур、
центнер (P1ir2)=C (L)+C(P2). (Да. 22) 2°(I n V A R I N t n O s t b). * Если Pi и P2 многоугольника равны друг другу, то * Помните, что два числа Ft и F2 называются p a в n s m, и F2 имеет взаимно однозначное соответствие, которое поддерживает расстояние между точками, в которых отображается фигура Fi и две полигональные разности P2\P i также полигональны. p{Pi)=p{P2). (10.23) 3°(M o n o t o n o s t). Если полигональная фигура Pi включена, свойство монотонности P (Pi) с полигональной фигурой P2, D/y•является логическим следствием свойства аддитивности и свойства ненагруженности области на самом деле, если Pi включен в P2, P2===, Pit!(P2\Pi) следовательно,
Pi и P2\P I не содержат общей внутренней точки вместе, а свойство Людмила Фирмаль
аддитивности p(P2)=p, (P1)+P.(f, 2\JPi). Это P (P2\A i)>0. З а м е ч а н и Е. полезно подчеркнуть, что площадь многоугольной фигуры считается естественной равной одному и тому же числу, независимо от наличия или отсутствия границы. Когда мы рассматриваем разницу между двумя многоугольниками P2\P i, мы можем согласиться рассмотреть§2. Площадь плоской фигуры 407 диаграммы, взятые из РГ и РГ, обрели форму без границ. В таком расположении разность P g\A будет многоугольником, взятым на границе. Теперь перейдем к определению области любой плоской фигуры F (т. е. любого ограниченного множества точек на плоскости). Рассмотрим все
виды многоугольников P, которые полностью содержатся в F, и многоугольник Q, полностью содержащий F. число P равно N и C n N s множество чисел{y (P)} области всех вписанных многоугольников P заключено из приведенного выше(например, площадь любого многоугольника фигуры Q). Числовое множество (y (Q)} всех полигональных областей q, описанных вокруг рисунка Q, заключено в нижнюю часть (например, ноль). Поэтому есть точная верхняя поверхность. H.= H. (F)=supy (P) (10.24) РСР Площадь всех полигонов, вписанных на рисунке F, и точная нижняя сторона y=y*(F)=inf y (Q) (10.25) квадрат всех полигонов, описанных вокруг F. Заметим, что y * =0 принимается по определению, если многоугольник не может
- вписать фигуру F. Значение Y, n и W N e y p l o Sch a d y u, ar, * — ver x n It p l o Sch a d y. из того, что площадь любой вписанной фигуры не больше площади описанной фигуры, y(F)над этой фигурой совпадает с областью y,под ней, то это sch it n l o Sch a d y). В этом случае числа y=y, (F)=y=yназываются n l o Sch a d y на рис. Ясно, что каждый многоугольник F вторичен в смысле нашего определения,и эта область.г (ф)=г(Ф)=.Точная нижняя сторона описываемой полигональной области и точная верхняя часть области вписанных фигур (UTG {£) совпадают с исходным значением площади, заимствованным из базового курса. Поэтому мы расширили понятие полигональной области до более широкого класса фигур. Сохранение
свойств аддитивности, постоянства и монотонности доказано ниже.408Ч. 10. Геометрические приложения определенных интегралов Начнем со следующего критерия-доказательства плоской формы квадрирем. Т Е О Р Е М А10. 2. Для квадранта плоской фигуры F, для любого e>0, с такой фигурой q, описанной вокруг F, p (Q) является P (P)0(10.24) и (10.25) находят вписанную многоугольную фигуру P и описанную многоугольную фигуру Q следующим образом Н.—- 1 — 0, где Q и P многоугольника присутствуют, указанные в формулировке теоремы достаточности. Тогда из неравенства (10.26) и соотношения p(P) p(Q), 00, фигура четырехугольника F входит в фигуру четырехугольника F R, которая не требует доказательств h (Q)—f (P)0 и строим на нем числа Q и P вторичной плоскости, первое из которых содержит F, а второе, например H(Q)-p (P)<^ -.
(10.26′)§2. Площадь плоской фигуры 409 Поскольку Q и P являются Людмила Фирмаль
квадратичными плоскими формами, существуют полигональные диаграммы P, включенные в полигональные диаграммы<5 и P, содержащие Q, и h (Q) — h(Q)<4″>h (P) — NS (P)<4 ” 4-4 Из последних двух неравенств и из(10.26 x) следует C (C) — h (P)<8. Однако, поскольку многоугольник D содержит Ф и многоугольник Р, содержащиеся в F, рис. F-это четырехколесные благодаря теорема 10.2. Теперь давайте установим другую эквивалентную формулировку теоремы 10.2. Пусть F-любая плоская форма, Q-многоугольник, взятый на границе, и включает в себя фигуру F, P-многоугольник, который включен в фигуру F и взят без границы. Тогда разность Q\P-это многоугольник, который вынимается вместе с границами и содержит все точки dF
на рисунке F*. *Это следует из того, что любая внутренняя точка полигональной фигуры P является внутренней точкой F,а любая внешняя точка полигональной фигуры Q-внешней точкой F. Благодаря аддитивности площади многоугольной фигуры эффективно равенство p(Q\P)=p(Q)-p, (P), из которого вытекает неравенство (10.26) в формулировке теоремы p (Q\P)<e. (10.26″) согласуются следующие условия: О П Р Е Д Е Л Е Н и Е2. Множество точек плоскости, если оно входит в многоугольник любой малой площади, называется множеством N l o N a d и n l. Тот факт, что неравенства (10.26″) и полигональная диаграмма Q\P содержат все точки границы dF плоской фигуры F, дает нам право переформулировать теорему 10.2 следующим образом: Т Е О Р Е М А10. 2″. Плоская фигура F может
управляться только в том случае, если Периметр dF равен нулю. Необходимость выполнения условий теоремы очевидна. Остановимся подробнее на доказательстве достаточности. Запишите плоскую фигуру F в квадрат E со сторонами, параллельными координатным осям, и прямая линия, параллельная этим осям, даст квадрат f К Е Л Е М Е Н Т А Р Н Ы Е К В А Д Р А Т. Сначала докажем о Дост-410Ч, если граница dF на фиг. 10. Геометрические приложения определенных интегралов На малом шаге сетки h граница dF на рисунке F включается в соединение квадратов базовой сетки с общей площадью менее 32E. Достаточно отметить, что в M o m d e l e, E под любым многоугольником квадрат является суммой конечного числа
треугольников, не имеющих общей внутренней точки. Каждый прямоугольник, содержащийся в сумме, вдвое или менее увеличивает сумму конечного числа квадратов; каждый квадрат содержится в квадрате вдвое большего размера с обеими сторонами, параллельными координатным осям. Таким образом, многоугольник области меньше e входит в сумму конечного числа квадратов со сторонами, параллельными координатным осям общей площади меньше 8E. Из заданного конечного числа квадратов выберите
квадрат с наименьшей стороной (если квадратов несколько, выберите один из них), а затем выберите сторону этого квадрата. В этом выборе, h, каждый указанный квадрат (сторона, параллельная координатным осям) включается в объединение основных квадратов сетки, которые являются квадратами с общей площадью меньше или равной четырем разам.
Смотрите также:
| Понятия границы множества и плоской фигуры | Повторные пределы |
| Инвариантность формы первого дифференциала | Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора |
