Оглавление:
Отсутствие разрывов первого рода и устранимых разрывов у производной.
- Разрыв первого рода в производных и отсутствие одноразовых скачков. Теорема Лагранжа позволяет установить одно замечательное свойство производной. Начнем с доказательства следующей леммы. Функция y=((x) имеет конечную производную G(x) везде в интервале(C, c+b) [интервал(C-b, C) [где b-положительное число, и
далее, правая производная/ ‘(C+0)[левая производная} ‘ (C-0)]. Тогда, если производная (‘(x) находится в точке C, то правый предел[левый предел], 232Chap.6 февраля. Основная теорема о дифференцируемых функциях Тогда этот предел соответствует
правой производной [‘(C+0) [левой производной[‘(C-0)]. D o K a z a t e l s T V o. существование Людмила Фирмаль
правой производной/'(C+0) [левой производной/'(C—0)] подразумевает существование конечного предела И Т Г и Т — Х- » +0х-о Х-Х ) Однако это имеет нулевой предел, и t {/(x)— / (C)}=0[t {/(x) — / (C)}=0], х — » с+0х-БС-0 То есть функция y=[(x) смежна с правой точкой C[слева]. Зафиксируйте любой x из интервала (C, C+6) [(C-6, C)]. Поскольку функция y=[(x) дифференцируема (и, следовательно, непрерывна) всюду в указанном интервале и далее непрерывна в правой
[левой]точке C, то должны быть выполнены все условия теоремы Лагранжа 6.4. Благодаря этой теореме существует такая точка между x и C, что уравнение истинно /(x)~^(C)=/’ (|). (6.9) Х-З. Теперь передадим знак равенства (6.9) в предел x->-C+0[x-> — C-0]. Если производная D (x)имеет конечную правую границу в точке C, а T/'(x) [конечная левая граница в точке / ‘(x)], то x*s— / -0 Х^Х-0 * Эта Лемма с T p (x)-/'(C+0)»и t/'(x)=/'(C-0) » и/'(C+0)=/'(C-0)=/'(C-0) = / ‘ (C), N t / ‘(+=N t/'(x)=/'(C). 0x — » — 0 это означает, что T(x) непрерывно в C. Правая часть(6.9) обязана
- стремиться к этому ограничению(для 5->C+0!:->-С-0]х->-с+0[х — >с-0]). То же ограничение для X — > — C+0[x — >C-0]должно иметь левую часть(6.9). Однако предел левой части(6.9) x->-C+0[x->-C-0]по определению равен правой производной/'(C+0) [левой производной/'(C—0)]. Леммы доказаны. Если функция} (x) имеет конечную производную в любом месте интервала (a, b), то эта производная 1′(x) не имеет ни точки разрыва, устраненного в этом интервале, ни точки первого рода. В самом деле, если в некоторой точке C в интервале (a, B) существует
конечный левый и правый предел функции/'(x), то/'(x) непрерывен в точке C (как доказано нами) L. Emma§4. Некоторые результаты уравнения Лагранжа 233 Если нет хотя бы одного из пределов (/'(x)x — >C -} — 0 и t / ^x),то функция/'(x) по определению является точкой C X — >c-O разрыва второго рода. Таким образом, дифференциал/'(x) в каждой точке интервала (a, B) либо непрерывен, либо имеет разрывы второго рода. Сформулированное нами утверждение доказано. Он существует везде в одном интервале и имеет квадратичный разрыв в какой-то точке этого интервала.
Рассмотрим функцию интервала Людмила Фирмаль
(-1,+1) /(h)=x2SO8—при x= / =0, Икс Х-0 О. Очевидно, что если любой x # =0, то производная/'(x) этой функции существует и равна G (x)=2xsoz-+z1p -. Существование X X производная/'(x) при x=0 непосредственно вытекает из существования предела Я т ДХ- > 0 + Dhas — =0. ДХ ДХ — » Ах ДХ -» Потому что первый срок 2xsoz имеет предел, равный нулю в точке x=0 и второе слагаемое соответственно не имеет правого или левого предела в точке x = 0. (Об этом свидетельствует пример, описанный в главе 3, главе 5, разделе 4.)
Смотрите также:
| Необходимые и достаточные условия интегрируемости. | Определение метрического пространства. |
| Условия монотонности функции на интервале | Открытые и замкнутые множества |
