Оглавление:
Приведём без доказательства следующие теоремы о пределах функции.
Теорема 1. Функцию 
, стоящую под знаком предела 
, можно представить в виде: 
, где 
— бесконечно малая функция при 
(т.е. 
).
Теорема 2 (о пределах суммы, произведения и частного). Если функции и 
определены в некоторой окрестности точки 
и существуют пределы 
, 
, то существуют пределы их суммы 
, произведения 
и, если 
, то и частного 
и имеют место равенства:
Отметим некоторые следствия из теоремы 2.
- Постоянный множитель может быть вынесен из-под знака предела.
(поскольку 
); - Предел разности равен разности пределов.
- Предел степени равен степени предела.
Рассмотрим, как данные теоремы применяются при нахождении предела функции в точке.
Пример №9.1.
Вычислите: 
Решение:
Используя теорему 2.1 и следствие 2, получаем, что предел суммы и разности равен сумме и разности соответствующих пределов:
В силу следствия 1, постоянный множитель может быть вынесен за знак предела:
В силу следствия 3, предел степени равен степени предела:
По определению 
, следовательно,
Ответ: 
Таким образом, для вычисления предела многочлена при достаточно вместо переменной 
подставить значение и выполнить соответствующие действия, т.е. 
.
Пример №9.2.
Вычислите: 
Решение:
Чтобы применить теорему 2.3 о пределе частного 
, проверим выполнение следующих условий: 
. Поскольку 
, найдем 
и предел многочлена : 
Применим теорему 2.3: 
Ответ: 
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
| Понятие предела функции. |
| Односторонние пределы. |
| Техника вычисления пределов. |
| Предел функции на бесконечности. |
