Оглавление:
Рассмотрим правило нахождения предела функции в точке
.
4.1. Если под знаком предела стоит многочлен, то предел вычисляется простой подстановкой (приём замены аргумента его предельным значением).
Пример №9.3.
Вычислите:
Решение:
Подставим в многочлен вместо значение -1, тогда

4.2. Если под знаком предела стоит отношение двух многочленов , то проверяем, обращается ли при подстановке
знаменатель в ноль. Если не обращается, то предел вычисляется простой подстановкой (см. пример 9.2).
Если при подстановке знаменатель обращается в ноль, то необходимо использовать дополнительные приемы.
Если , то имеем неопределенность вида
. В этом случае предел
можно вычислить разложением многочленов
и
на множители, используя формулы сокращенного умножения и формулу разложения квадратного трехчлена на множители:
, где
и
— корни уравнения
.
Если разложение выполнено верно, то в числителе и знаменателе дроби должны получиться одинаковые множители, которые следует сократить. После сокращения предел вычисляется простой подстановкой.
Пример №9.4.
Вычислите
Решение:
Проверим, какие значения будут принимать числитель и знаменатель при подстановке вместо значения 3:
Получили неопределенность вида
.
Разложим числитель на множители по формуле разложения квадратного трехчлена. Составим уравнение и найдем его корни:

или
Тогда числитель можно представить в виде произведения двух множителей:

Знаменатель разложим по формуле разности квадратов:
.
Вернемся к исходному пределу:

Ответ:
4.3. Если под знаком предела стоит дробь вида , включающая иррациональную функцию (функцию, содержащую корень), то домножаем числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное иррациональному.
Пример №9.5.
Вычислите
Решение:
Поскольку при подстановке в числитель и знаменатель вместо значение 0, получаем неопределенность
, домножим числитель и знаменатель дроби на выражение
, сопряженное знаменателю. Получим:

В знаменателе дроби воспользуемся формулой разности квадратов:

Вынесем в знаменателе за скобки
и сократим дробь на
:
Видим, что при подстановке числитель и знаменатель не обращаются в 0, следовательно, теперь предел вычисляется простой подстановкой:

Ответ:
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Односторонние пределы. |
Основные теоремы о пределах функции. |
Предел функции на бесконечности. |
Замечательные пределы. |