Оглавление:
Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей членов данного знакочередующегося ряда. Ряд 
является расходящимся гармоническим рядом. Следовательно, по определению, знакочередующийся ряд 
условно сходится, что и требовалось доказать.
Для определения характера сходимости знакочередующегося ряда 
удобно использовать следующий алгоритм:
- составить ряд из модулей членов данного ряда:
; - исследовать положительный ряд на сходимость;
- если ряд сходится, го знакочередующийся ряд абсолютно сходится (следовательно, и просто сходится);
- если ряд расходится, то исследовать знакочередующийся ряд на сходимость;
- сделать вывод об условной сходимости знакочередующегося ряда .
Пример решения заказа контрольной работы №100.
Исследуйте характер сходимости знакочередующегося ряда
Решение:
Для исследования характера сходимости знакочередующегося ряда
воспользуемся алгоритмом.
Составим ряд из модулей членов данного ряда:
Исследуем полученный положительный ряд
признака Коши, т.к. общий член ряда представляет собой 
-ую степень выражения 
:
выпишем
найдём
найдём
(при раскрытии неопределенности 
использовали правило Лопиталя). В итоге,
Значит, по признаку Коши ряд
сходится.
Поскольку ряд
сходится, то по определению, знакочередующийся ряд
абсолютно сходится (следовательно, и просто сходится).
Ответ:
абсолютно сходится.
Знакочередующийся ряд 
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов 
.
Заметим по определению, что исследование абсолютной сходимости знакочередующегося ряда фактически сводится к исследованию сходимости положительного ряда. Таким образом, для этой цели можно использовать все признаки сходимости положительных рядов.
Пример решения заказа контрольной работы №101.
Докажите, что знакочередующийся ряд 
абсолютно сходится.
Доказательство. Составим ряд из модулей членов данного ряда: 
.
Исследуем полученный положительный ряд на сходимость с помощью признака Даламбера по алгоритму.
В итоге,
Значит, по признаку Даламбера ряд 
сходится.
Следовательно, но определению, знакочередующийся ряд 
абсолютно требовалось доказать.
Для абсолютно сходящихся рядов справедливо утверждение: если знакочередующийся ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится.
Знакочередующийся ряд 
называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов 
, расходится.
Пример решения заказа контрольной работы №102.
Докажите, что знакочередующийся ряд 
условно сходится.
Доказательство. Исследуем сходимость знакочередующегося ряда с помощью признака Лейбница по алгоритму.
Выпишем модуль общего члена исходного ряда:
Найдём
Неравенства 
справедливы, т.к. 
(первое условие признака Лейбница выполнено).
Найдём 
(второе условие признака Лейбница выполнено).
Следовательно, но признаку Лейбница знакочередующийся ряд сходится.
На этой странице вы сможете заказать контрольную работу и познакомиться с теорией и другими примерами решения:
Заказать контрольную работу по высшей математике
Другие похожие примеры возможно вам будут полезны:
| Разложение функций в ряд Маклорена |
| Нахождение интервала сходимости для степенного ряда |
| Признак Даламбера для общего члена ряда |
| Основные свойства рядов |
