Оглавление:
Определение интеграла Стилтьеса и условия его существования
- Определение интеграла Стилтьеса и условия его существования. Концепция интеграла Стилтьеса реализует идею интегрирования функции f (x) относительно другой функции и(x). Определите и
ограничьте функции/(x)и(x) в сегментах[«,6], разделите этот сегмент*: * a=xo0,а если e>0, то при max DX<6 существует неравенство|o—/|a,& имеет вид、 b I = f (x)du (x). (9.2.2) Но Функцию I (x) иногда называют I n t e g R I r u S Ch e y F unction. Т. Стилтьес пришел
к идее такого интеграла, учитывающего возрастающую функцию и положительное Людмила Фирмаль
«распределение массы» на линии, заданной (x), а его точка останова равна массе.» Интеграл Римана является частным случаем интеграла стилтьеса, когда функция x+C берется как интегральная функция, а C-const. Условие, когда функция f(x) интегрируется функцией» (%).
Предположим, что интегральная функция и(x) находится в z p A S t A y s e y. отсюда следует, что a=Xo0. Это позволяет заменить Ah на-Di (x,) и повторить практически любую структуру, которая выполняется для интеграла Римана. Подобно нормальному интегралу Римана от суммы дарбоу, верхний и Нижний DAL boo stiljes являются S=£MDI(x£)—I(x,_1)], s=£mi[u(xi)—tz (x£_i)], (9.2.3), где i=l i=l и NTI заданы. Сумма (9.2.3) называется суммой e r x n e y и darboux-stiltjes соответственно.
- Как и в случае суммы Дарбу при том же разбиении(т. е. В простейшем случае и(x)=x+C, c=const), выполняется неравенство sa, B была интегрируема над этим отрезком с возрастающей функцией(x), как это необходимо.Если это для e>0, то был раздел{xk}, такой как S-S
0, если вы решите достаточно уменьшить диаметр распределения. Согласно описанию основной теоремы, функция f (x) интегрируется Стилтьесом. В общем случае функции и(x), удовлетворяющей условию Липшица, можно также рассмотреть выражение и(x)=CX-[CX-и(x)]=U1(x)-I2(x). В этом представлении функции cha () и I2(x)
удовлетворяют условию Липшица и увеличивают*. В этом случае доказательство завершается таким же образом, как описано выше. Для функции I2 (x) для * X’>x», очевидно, можно записать отношение IG (x’)—I2 (x») (x’-x»)+[и (x’)—и (X’)]>0. Наконец, вот еще один класс функций, которые могут быть интегрированы Stiltjes. 3. Функция f (x)интегрируется в отрезке[a,B]по Риману, а функция I (x)принимает выражение как Интеграл с переменной верхней границей Икс I (x)=l+J<p (E) dg, Но Где<p ( £ ) — функция
Римана,которая может быть интегрирована с отрезками[a, B], и существует Интеграл(9.2.2). Людмила Фирмаль
Фактически,<p (g) интегрируемо по Риману, поэтому оно окружено|<p(g)|const. Итак|I (x’)-C(x’)|=/j<p (|) d g/</< / x’ — x’|. Я Таким образом, актуальность этого критерия вытекает из беспристрастности предыдущего критерия. Заметим, что в некоторых случаях Интеграл стилтьеса b / =J / (x) du (x) сводится к интегралу Римана по формуле Но б, б. Дж. Ф (Х) ду (х)=Дж/(х)<р (х) DX. один (9.2.5) дополнительные 2 389 В частности, уравнение (9.2.5) имеет место, если и(x), где (x) ограничено и имеет интегрируемость в смысле производных отрезка[A, B]и Римана на'(x). В этом случае<p (x)==и'(x).
Смотрите также:
