Оглавление:
Рассмотрим сначала понятие однородной функции двух переменных.
Функция двух переменных 
называется однородной функцией измерения 
,если при любом 
справедливо тождество 
.
Пример:
Функция 
есть однородная функция второго измерения, т.к.
С понятием однородной функции связано понятие однородного дифференциального уравнения.
Уравнение 
называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функции 
и 
являются однородными функциями одного и того же измерения.
Однородные дифференциальные уравнения решаются введением новой переменной 
по формуле 
или 
, при этом 
.
После подстановки данное однородное уравнение будет являться уравнением с разделяющимися переменными 
и ; из него определяется , а из формулы искомая функция 
.
Пример:
Решить уравнение 
, если 
при 
.
Решение:
Здесь 
и 
— однородные функции второго измерения. Применим подстановку , при этом 
. Получим: 
, или 
. Сгруппируем слагаемые относительно 
и 
: 
. Разделим переменные:
Так как 
, то 
— общий интеграл. Используя начальные условия 
имеем 
. Тогда 
и 
— частное решение данного уравнения.
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
| Дифференциальные уравнения первого порядка: основные понятия |
| Уравнения с разделяющимися переменными |
| Линейные уравнения первого порядка |
| Уравнение Бернулли |
