Оглавление:
Уравнение , где
и
— заданные непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Если функция , стоящая в правой части уравнения, тождественно равна нулю, т.е.
, то уравнение называется линейным однородным, в противном случае — линейным неоднородным.
Таким образом, — линейное однородное уравнение, а
— линейное неоднородное уравнение.
Рассмотрим два метода интегрирования линейных уравнений
1 метод.
Для решения уравнения применяют подстановку , причем функцию
считают новой неизвестной функцией, а функцию
подчиняют условию:
. Данная подстановка приводит к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно
и
. Произведение полученных функций даст общее решение линейного уравнения:
.
Пример 1.
Решить уравнение .
Решение:
Здесь . Имеем:
.

— общее решение линейного уравнения.
2 метод (Метод вариации произвольной постоянной).
В линейном однородном уравнении переменные разделяются и его общее решение, которое мы обозначим через
, легко находится. Затем находят общее решение неоднородного линейного уравнения
, считая, что оно имеет такую же форму, как и общее решение соответствующего однородного уравнения
, но где
есть не постоянная величина, а неизвестная функция от
, т.е. считая, что
.
Полученное общее решение состоит из двух слагаемых: общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Пример 2.
Найти общее решение уравнения .
Решение:
Интегрируем соответствующее однородное уравнение:

Считаем функцией
:
Подставляем в исходное уравнение:

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Уравнения с разделяющимися переменными |
Однородные уравнения первого порядка |
Уравнение Бернулли |
Уравнения вида y(n) = f(x) |