Оглавление:
Обратная функция
Пусть задана функция с областью определения
и множеством значений
. Если каждому значению
соответствует единственное значение
, то определена функция
с областью определения
и множеством значений
. Такая функция называется обратной к функции
и записывается в виде:
. О функциях
и
говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию
, обратную к функции
, достаточно решить уравнение
относительно
, если это возможно.
Пример 1.4.
Для функции обратной функцией является функция
.
Пример 1.5.
Для функции , обратной функцией является
. Заметим, что для функции
, заданной на отрезке
, обратной не существует, так как одному значению
соответствуют два значения
: если
, то
,
.
Из определения обратной функции следует, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда функция
задает взаимно однозначное соответствие между множествами
. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).
Заметим, что функция и обратная ей
изображаются одной и той же кривой, т. е. их графики совпадают. Если же условиться, что независимую переменную обозначить через
, а зависимую переменную через
, то функция обратная функции
запишется в виде
.
Это означает, что точка кривой
становится точкой
кривой
. Заметим, что точки
симметричны относительно прямой
. Поэтому графики взаимно обратных функций
симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Эта лекция взята со страницы лекций по предмету математический анализ:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Способы задания функций с примерами |
Основные характеристики функции |
Сложная функция с примером |
Основные элементарные функции и их графики с примером |