Непрерывность суммы ряда

Оглавление:

Непрерывность суммы ряда

Непрерывность суммы ряда. Теперь, в связи с этими последними свойствами, мы переходим к изучению функциональных свойств ряда сумм, состоящих из функций. Я уже указывал на эквивалентность между перспективой последовательности и бесконечным рядом perspective. In в изложении мы отдаем предпочтение последней точке зрения. Это не так, потому что в приложении вы найдете практически все без исключения бесконечные lines. It нетрудно перенести сказанное о функциональном ряду на случай последовательности функций. Начнем с задачи непрерывности ряда сумм, состоящих из непрерывных функций. Читатель знает, что сумма конечного числа последовательных функций непрерывна[n°62].

Введенная выше концепция единообразной конвергенции будет играть решающую роль в будущем, поэтому ее значение будет полностью выяснено. Людмила Фирмаль

Применяется ли подобное описание, когда число терминов бесконечно? Следующий простой пример показывает, что это не всегда так. Подумайте о серии 2 —) =(1-x)+ x(1 -. )+… + ха-1 (1-х)+… Н = 1 1). x=; \для всех членов ряда и для суммы этих рядов она будет равна 0.Для qr 1, чтобы суммировать прогрессию, вы получаете 1.Члены ряда непрерывны на интервале[0, 1], но сумма рядов в точке x = 1 разрывна! заметим, что сходимость ряда здесь неравномерна, поскольку остаток ряда после n-го члена, который равен xn (для x 1), имеет тенденцию быть неравномерно 0. [n * 264, 3)|. Занять место Теорема / ♦функция un (x) (n = 1, 2, 3,…Если) определяется и непрерывно с интервалом 5E = [a, k]и рядом 11 11н (х)= U(х)+ М-0 +•••+ ООН ()+…(1） Северный= ） Когда 5e сходится равномерно к сумме f (x), эта сумма непрерывна на интервале 5C.

Доказательство. Принять разрыв 3?В точке x0 установите непрерывность функции/(x) в этой точке. Держите предыдущую нотацию, i = 1, 2, 3,…И Х /（•）= /»（）-（2） Особенно /(М = /»(Х»)+?(■»）、 Откуда \ /(x)-/(A’o) / \ n (X) (X0) I + 1?(X) I + 1 Pn (M I.(3） Здесь мы найдем любое e> 0.Учитывая равномерную сходимость ряда, неравенство 1? С*) С-D (4） Выполняется для всех значений x в интервале (включая x = d0).Заметим, что для фиксированного η функция fn (x) является суммой некоторого конечного числа функций u(x), смежных в точке x = x$. таким образом, она непрерывна даже в этой точке, и поскольку B> 0 существует для заданного e> 0, x-x§ / Oh 1 / yM-LMKr(5） Далее、（3）、（4）、（5）с учетом неравенства μ-π0 / ^ 8 импликация 1 / М / МК *. Докажите теорему*). Замечания.

На примере мы обнаружили, что пропуск требования о равномерной сходимости рядов может привести к неправильному описанию теоремы. Людмила Фирмаль

Однако в теореме появляется равномерная сходимость. Фактически, здесь доказано, что непрерывность членов ряда в одной точке подразумевает непрерывность суммы в той же точке. Ноль ноль 2 2 * [LG » 5 * 8 л-1 (л — 1)*»]、 Н = 1 (Я-о * 1 1+(л-1)в * ч (6） Так же как и достаточное условие, не следует думать, что это условие необходимо для полной непрерывности ряда. Например, строка [ср. Интервалы [O, 1]pv264, 4) и 2)] имеют непрерывную сумму, равную нулю, но оба сходятся неравномерно на указанных интервалах. Легко перефразировать доказанную теорему в случае набора функций： Теорема 1 *.Последовательность функций И ОО> л ОО> …и / » ОО…..(7 )） Если интервал 2C = [a, b] > определен и непрерывен, то функция / / (может равномерно сходиться к предельной функции f (x).

Равномерная и неравномерная сходимость.	Функциональные свойства суммы ряда. Случай положительных рядов.
Условие равномерной сходимости.	Почленный переход к пределу.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.