Непрерывность на конце промежутка сходимости

Непрерывность на конце промежутка сходимости

Непрерывность на конце промежутка сходимости. Здесь мы рассмотрим более тонкую задачу о поведении степенного ряда (1) вблизи края X =±его интервала сходимости (при условии, что рассматриваемый интервал конечен). кроме того, N:= /?Может быть ограничен правым краем; все, что было сказано о нем с помощью простой замены x на x, может переноситься в случае левого края x—> В качестве дополнения к теореме 2°о непрерывности суммы степенных рядов в открытом интервале ( ,, Я)、 4-й. Теорема Абеля*).

Если степенной ряд (1) сходится как (по крайней мере не абсолютно), то сумма этого значения остается непрерывной. Людмила Фирмаль

• / ( / ?-0)= Hnn для APX 2 «= 2 с ^. Чтобы доказать это, мы устанавливаем, что предположение теоремы требует равномерной сходимости ряда (1) замкнутого интервала[b, β], и мы можем применить общую теорему 1 pp 266. Не теряя общности, мы можем предположить= 1(в этом случае вопрос будет заключаться в замене x на х). Итак, зная, что ряд будет сходиться И 2 ап-а л = 0 Необходимо это доказать Ччи) aphn = а、 х * * * ^®л.

• Для этого отсчитайте отныне 0; от 1 умножьте прогрессию по правилу Коши на ряд (1 Ноль ноль 2 > = м4р> Pushgo Возьми О, о, о, о. ■}*2 АПХ »-2 АПХ», где L ’> = = a»+ 3 * ±+°n-n = 0 i = 0 Вычесть строку Да. А =(1-х) 2 AXN в 2 apxn = (^X) ^ ApXa * н = 0 н = 0 Прокладка А-Л» это тож L-2 APXP =(1-x) 2 * PX —(6） Я » 0 Л = 0 ay + 0 [pr235, 2e], поэтому для любого e> 0, [an | e, n〜> s только. (6) разделите сумму ряда справа на 2 суммы Н с о -) 2 «* » и о—*) 2 а * хрl = 0 манифест^ _ / _1 2-й оценивается сразу независимо от x： Совместные акции к» —) 2 apnp \ ^ х)2 |»и1«^-（1）2 хп 1 я = ЛГ + 1 л = ЛГ-ч я = ЛГ-ч.

Однако функция определена, и континуум продолжает сходиться в конце этого интервала. Людмила Фирмаль

• Для первого, л * 1 стремится к 0, если X достаточно близко к 1、 Н 1(1 *) 2 в » * » 1 т * л = 0 Наконец | | / А— 2 а» хп | э Л » 1 Это докажет замечание. Это означает что-то столь же простое, как это В случае функции результата/ (*) разложение степенного ряда выполняется только между открытыми интервалами Ноль ноль / ( * ) = 2 а * хп (я х я). Les Например, если x -/, то qi =?В этом случае разложение останется верным. Это можно легко проверить, передав выражение равенства, записанное как x ■i-0 до предела.

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Промежуток сходимости степенного ряда.	Определение непрерывности функции в точке.
Непрерывность суммы степенного ряда.	Условие непрерывности монотонной функции.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.