Непрерывность функции m переменных по одной переменной

Непрерывность функции m переменных по одной переменной

• Непрерывность функции переменной m для одной переменной. Функция » = f (xi, x2,…Из некоторых переменных можно определить понятие непрерывности по любому из n er em EN n y x в фиксированных значениях остальных переменных. Для введения этого понятия рассмотрим так называемые h ASTN s e n p и p A S Ch e n и I функции u==f(x i,XT)в точке M (X C, x2,)…, HT, принадлежащий к

области определения функции). Давайте зафиксируем все аргументы, кроме первого, и дадим первому произвольное приращение D % 1, чтобы сделать его точкой с координатами x^+Ah -., x2,…, HT находился в области распределения функций. * Соответствует§3. Непрерывность функции переменной T 463 Приращение функции называется часть функция м*п р и Р ащ Ен и ем в М (XI, Х2)…. XT), соответствующее приращению аргумента XC и представленное DX, и.

И так оно и есть., * Термин «частичное приращение» используется для того,чтобы Людмила Фирмаль

отличить это приращение от полного приращения(12.6), соответствующего любому приращению (Axi, Dx12)..,DH для всех аргументов Xi, x2,…. x t — AXlu^f(x1+ahx, x2,. . . . X) — f (x, lt x2, XT). (12.8)аналогичным образом определяется частичное приращение функции, соответствующее приращению другого аргумента.f(Xj, x2+X2, X3,•—, XH) f (xr x2,. . — , ХТ),……………………. (12.9) Здесь вводится понятие непрерывности функции u=f (x±,XG,)… …. По одному ОИ п ЕР ЭМ Ен н ы х. Функция u=f (xlt XG,…Xch), точка e M (xi, x2,… Если

частное K-XjU этой функции в M является бесконечно малой функцией XY, т. е. lim A-Z и=0, то n E E m e n o y по XY. d^ — > ° Для фиксированных значений всех переменных, кроме переменной XA, функция u=f (xi, x2,…, HT)является функцией только этой переменной. Обратите внимание, что непрерывность функции над переменной x&подразумевает непрерывность данной функции над данной переменной. Очевидно, что функция u=f (xi, x2,…, HT)в заданной точке M следует непрерывность этой функции в точке M для каждой из

• переменных Xi, x2,.., ХТ. Но из непрерывности^функции точки M для каждой из переменных Xi, x2…. HT, вообще говоря, не подразумевает непрерывности функции в этой точке. Чтобы подтвердить это, рассмотрим следующий пример: 1°. Мы имеем функцию u=f (M)=f (x, y) n E p p e R s в n A в h ke M на прямой o,p R o o d I u E d h E R E s T в h K u,переменную в любой последовательности точек{MP}, понятие непрерывности функции над a В частности, непрерывность функции в точках M отдельных переменных x и y равна 464Chap,что является непрерывностью на прямой. 12. Функции некоторых переменных Проходить через точку м параллельно осям координат. У нас есть

функция[XY I=x2+y2I O x2+Y2=£0, x2+Y2=O (12.10)) Все линии, которые являются смежными в точках 0 (0, 0) в каждой переменной x и y, то есть смежными на каждой из осей координат, но не смежными на всех других линиях, проходящих через эту точку, за исключением осей 0 (0, 0), могут быть представлены формулой y=kx, & =H=0. Для каждой точки На прямой y=kx, # =5^0, за исключением точки 0 (0,0)функция(12.10)принимает одно и то же постоянное значение: Χ6≠1-on;2 ‘ Если следует последовательность (mp)непрерывности таких функций на координатных осях, то следует тот факт, что значения на этих осях равны нулю. Если функция двух переменных смежна на любой линии, проходящей через данную точку, то эта функция может оказаться смежной в данной точке.

В следующем примере показано, что это не часто встречается. 2°. Рассмотрим Людмила Фирмаль

функцию 1x2u u=f (M)=\x^+y^I0 С x4+U2F O, с x4+U2-0. Указанная функция смежна с любой линией, проходящей через точку 0 (0, 0), но оказывается не смежной в этой точке. Фактически, значение этой функции в Y-kx равно x2fea~, а в x — >0-n — >0. Непрерывность этой функции на оси OU следует из того факта, что значение на этой оси равно нулю. С другой стороны, поскольку значение функции параболы y=px2 является постоянным и равным, предельное значение функции, когда точка m становится точкой O на указанной параболе, также равно -8. Из §3. Непрерывность функции переменной T 46& если p#=0, то этот предел не равен нулю и не соответствует частичному значению функции в точке O. 3. Главный

Смотрите также:

Математический анализ 1 курс

Понятие экстремума функции m переменных. Необходимые условия экстремума	Частные производные высших порядков
Производная по направлению. Градиент	Дифференцирование сложной функции