Направление вогнутости, точки перегиба

Оглавление:

Направление вогнутости, точки перегиба

Направление вогнутости, точки перегиба. Считать Например, плоская кривая, определенная явным уравнением y = f (x), и точка M над ней(xc} /(xc)). В достаточно малой окрестности точки M, где кривая, содержащая все точки, находится точно на этой стороне касательной, говорят, что кривая направлена от касательной к конкретной стороне вогнутой в точке M(рис.103).Кроме того, если достаточно малая окрестность имеет точку кривой с координатами абсциссы, то эта точка называется точкой перегиба Если касательная находится на одной стороне, а абсцисса равна x> q: 0, то есть если кривая проходит от одной стороны касательной в точке M к другой, или, короче говоря, если она пересекает касательную(рис.104). Уравнение касательной в точке M выглядит следующим образом: Г = / (*о)+ хй(х-хD. г-г = ф (*) д * О) Ф ’ (*О) С * * О） ^ 0 рядом с точкой.

Чтобы решить проблему наличия вогнутого направления или перегиба, необходимо изучить признаки различий . Людмила Фирмаль

Предположим, что в этой окрестности существует непрерывная квадратичная производная/ » (г). Во-первых, пусть/ «(x0)> 0.если мы прибегнем к формуле Тейлора в дополнительных членах формы Пеано η= 2[n°107, (17)]: Г-г = р™+ а(Х-Х „）\ Где x > 0 равно x > x0. если значение π достаточно близко к x0, то эта разность имеет знак числа fn(xy), поэтому в случае f *(xb)>^® кривая точки вверх направлена вверх вогнутой поверхностью, а F *(0)<0—то есть. / “ (.Если (*0)= 0, то справа остается только терм Ничего не говори о знаке различия y-U. In в этом случае для n = 2 также возьмем дополнительный член в Лагранжевой форме[N°106, (12)]. Ыы =’ ^(х-х0）\ ( * ) мы отошли от обозначения, используемого в n * 210 здесь[Ссылка (4)], чтобы обозначить текущую ординату касательной K и отличить ее от ординаты » / (*) точки кривой с той же абсциссой X.

Где x <^ c <^ X или x9 <^ c <^ x. если рядом со значением x$ 2-я производная/ » (AG) содержит знак плюс или минус (как слева, так и справа), то тот же знак содержит вогнутые стороны разности y — Y и точку M соответственно вверх или вниз. И наоборот, если/ » ( * ) изменяет знак при прохождении через точку xy, то знак и разность y-Y изменятся, а точка M будет иметь перегиб point. In в этом случае точка перегиба M, ограничивая ее достаточно малой окрестностью, отделяет их от точки, где вогнутая поверхность кривой обращена вверх, вогнутое направление направлено вниз. для п р и М ЕР рассмотрим синусоиду. y= $ mx; где y » = ztl:= = -y. So, в интервале, на котором vx x держит знак плюс (минус), синусоида направляет вогнутое в низ (верх).если значение x= * kn (где k-целое число) / изменить знак на ноль; они соответствуют точке перегиба синусоиды.

Исследование кривой в точке перегиба позволяет уточнить построение графика функции по сравнению с тем, что изложено ранее. Людмила Фирмаль

И наоборот, для функции y = x *существует y «= 12l:1, а для L:= 0 производная 2 исчезает, но для других значений x знак плюс, и кривая, везде, направлена вверх вогнутой поверхностью. Если существует точка перегиба (при условии существования производной 2-го порядка), то условие y» = 0 необходимо, но недостаточно. Легко увидеть аналогию с теорией экстремальных значений[ср. 112 и далее]. В заключение, вместо рассмотрения знака 2-й производной f (A) вблизи точки x0, мы можем также рассмотреть последовательные производные в самой точке x +(x0), f (4). 117, предлагая их читателям. Замечания.

Случай пространственной кривой.	Понятие кривизны.
Касательная плоскость к поверхности.	Круг кривизны и радиус кривизны.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.