Оглавление:
Множества точек m-мерного евклидова пространства
- Множество точек в М-мерном евклидовом пространстве. Если функция y=f (x)имеет одну независимую переменную x, а областью ее определения является множество{x}с точкой в одномерном Евклидовом пространстве E1, то это множество{x}называется M-размерностью. Таким образом, очевидно, что введению функции t переменной должно предшествовать описание наиболее важного типа множества точек в М-мерном Евклидовом пространстве Et. Перейдем к описанию такого множества. 1°. Координаты Xi, x g и X t удовлетворяют неравенству (X1—X1) 2+(x2—x2) 2+{M} всех возможных точек M в пространстве… +(xm-xm) 20, центрированный в точке W,
называется e-OCR EU tn, который является осью точки Mo. 5°. Множество всех точек{M}M, координаты Xi, x2,… Что HT удовлетворяет неравенству|M — * i / 0, ставим o/1=s / 2=… =о / т==.Тогда прямоугольная окрестность точки МО с заданным ДЛТ d2…DM будут включены в е окрестности точки МО. Если Di>0, x / 2>0, исправлено… ДМ>0,е=мин{Ди, Д2…, dm}будет включена в прямоугольную окрестность точки МО, имеющей значение d2 e задана окрестность точки МО…. dm me 1. Функция t переменная понятие 447 8°.
Точка M пространства Et называется точкой множества{7I}, если эта точка не находится ни внутри, ни вне указанного множества*. * Обратите Людмила Фирмаль
внимание, что точка M является граничной точкой множества{L1}только в том случае, если в окрестности e точки M. фактически, если в некоторой e окрестности точки M нет точек, принадлежащих{L4} [не принадлежащих{M}], то точка M является внешней[внутренней] точкой M, а не граничной точкой этого множества. *То есть, если какая-либо точка M в множестве{L1}принадлежит этому множеству, то она будет с некоторыми из его соседей. Множество M пространства Et называется замкнутым множеством, если его дополнение является открытым множеством. З а м е ч а н и Е2.
Граничная точка M множества{L7}может принадлежать или не принадлежать этому множеству. Итак, любая точка в сфере с радиусом 7 м имеет размеры? МО с центром в точке-это периметр для открытого м-мерного шара радиуса 7? Есть ли центр в точке 7I0 и для замкнутого m-мерного шара с радиусом 7? Центр — 7I0. Но разве ни одна точка этой сферы не принадлежит открытому шару с радиусом 7? Принадлежит ли он центру Мо и замкнутому шару с радиусом 7? Сосредоточься на МО. 9°если любая точка этого множества является его внутренней точкой, то любое множество M точек пространства E называется открытым m. * 10°. Любое открытое множество, содержащее данную точку 7I0 называется О К Р Е СТН о С
- Т У ч Ki7I0. 11. Любое множество точек пространства Et{L7}, если это множество содержит все его граничные точки, называется Zam K n y t m. Чтобы сформулировать другое эквивалентное определение замкнутого множества, введем понятие точки разрыва произвольного множества M в пространстве Et. 12°. Если окрестность точки А содержит точки, отличные от точки А, то точка А точки Е называется множеством{L7}. Убедимся, что множество M замкнуто только в том случае, если оно содержит все точки ограничения. Само по себе, если множество 7I замкнуто, оно содержит все точки пространства Et, кроме его внешней точки. Точка вне множества M не имеет предельной точки, поэтому множество M содержит все предельные точки. Если множество{L1}не содержит хотя бы одной
своей граничной точки L1o, то эта точка Mo явно является точкой разрыва множества{L7}. Если множество M содержит все предельные * t * o * chki,■448CH, то оно называется замкнутым. 12. Функции некоторых переменных Множество точек пространства 13° Et{L1}, Если существует m-мерный шар, содержащий все точки этого множества, называется o R a n ichenn s m. 14°. Введено понятие непрерывных кривых в М-мерном евклидовом пространстве ET. Н е н Д Е Р С В А Н О й Кри вой л в пространстве Эм, будем.Вызывает множество {M}точек в этом пространстве и координат.ХІ, ХГ…И что HT-это непрерывная функция.Параметр t: X1-f1 ( / ), X g~F2(0,•••) X-t~f t (^) «(12.3) Можно сказать, что точка M ‘(x/, x2′,…, HT’) и M»(Xi», x2″,… ….. Если существует непрерывная кривая L, определяемая параметрическим уравнением (12.3) H1′ = f1 (a),H2=f2(a),
hto’=HT=f t(R). Понятие непрерывных кривых в пространстве позволяет ввести Людмила Фирмаль
понятие связных множеств. 15°. Если любые две точки этого множества могут быть соединены непрерывной кривой, то множество точек{M}в пространстве Et называется C в I z-n s m, и все его точки соединены непрерывной кривой.、 Если множество{L1}связно, то пересечение{L1}и каждого из этих множеств не является пустым, а множество{L1}находится в объединении двух непустых множеств, так что оно входит в объединение G ‘и G». Вычтите это свойство d o K A z A t e l S T V o из противоположного. Предположим, что существует два заданных набора G ‘и G». Поскольку пересечение каждого из этих множеств и{M}не является пустым, существуют две точки M ‘и M’ множества{M}, первая из которых принадлежит G’, а вторая-G’. Чтобы получить противоречие, которое завершает наше
доказательство, нам нужно только установить, что точка M ‘и точка M’ не связаны непрерывной кривой и что все точки принадлежат множеству{M}. Пусть L — любая непрерывная кривая в пространстве Et, определяемая уравнением (12.3) и соединяющая указанные точки M’и M’. Попробуем расположить все точки кривой L в порядке возрастания параметра t. Обозначим точную верхнюю границу этих значений у супружеской пары. M t, соответствующая точка кривой L под углом — §1. Функция t переменная понятие 449 Установите G ‘ Reaper, а через точку кривой L, соответствующую значению параметра t=y. Достаточно доказать, что точка N принадлежит
множеству{L1}, и достаточно подтвердить, что точка A не принадлежит множеству G ‘ или G lot. Если точка принадлежит G’, так как множество G открыто, то будет несколько e соседей точки N, также принадлежащих G’, то есть значение, соответствующее значению параметра t. Аналогично, если точка N принадлежала G», то.Она принадлежит этому множеству вместе с некоторой его е-ОК-реструктуризацией, то есть существует точка на кривой L, соответствующая значению параметра t и не принадлежащая G’, поэтому она принадлежит G’. Таким образом, точка N не принадлежит G’or G’, и сформулированные характеристики доказаны.
Смотрите также:
| Операторы в линейных и нормированных пространствах. | Понятие функции m переменных. |
| Достаточные условия локального экстремума функции m переменных | Последовательности точек пространства Еm |
