Метод Остроградского для выделения рациональной части интеграла

Оглавление:

Метод Остроградского для выделения рациональной части интеграла

Метод Остроградского для выделения рациональной части интеграла. Остроградский) указал на метод, который значительно упрощает обнаружение Интеграла регулярной рациональной дроби. Эта методика позволяет идентифицировать рациональную часть интеграла чисто алгебраическим способом. $ (х — а) к р-к-1(х-а)-’+ с (7 )） Установите, какую форму принимает рациональная часть интеграла Используйте Mx + N/. П * Л \ Поскольку мы уже привыкли к подстановке x \ y=*, мы используем уравнения (1), (2) и приведенную формулу (5) n * 163 для n = m-1.Вернемся к переменной x、 МХ + N М ДГ + Л /’ С-ых + РХ + д） т. И X = (х * + РХ + я) т’1 Четыре * » + РХ + Д)т ’ [par 65]мы обнаружили, что рациональные члены Интеграла получаются путем интегрирования простых дробей форм II и IV. In в первом случае Интеграл можно записать сразу： О, да. M’GX + LH Да. Здесь, LH, LH и A означают некоторую константу coefficients.

Все рациональные члены, назначенные в строке, являются обычными дробями. Людмила Фирмаль

In ту же формулу, заменить m на m-I и найти последний Интеграл(если да> 2） (х * + РХ + Д) т〜* (х * + РХ + Д) Т-1(х * + РХ + Д) т * МХ 4-Л / + П * + Я） т. О. Я(x） Да. (х * + РХ + д)* -’ х * + РХ д * (8） И т. д., пока индекс Троицы x * + px 4 * 9 не уменьшится до 1 в интегрировании справа. Когда вы объединяете их, вы получаете следующий вид результата: Где/?( * )Целочисленный многочлен меньшей степени, чем знаменатель), где X-константа. п Г п(х). Р,(л:) 0 ^ {х）？| （） № (Икс） (Икс） О. (9 )） Предположим, что у нас есть нормальная дробь, которую мы считаем неприводимой, и мы умножаем ее знаменатель на 0[см. (3)).в свою очередь, Интеграл этой части выражается как сумма интегралов (5) или (6) частей частицы. если k (или m) больше 1, то интегралы всех фракций в группе (5) [или(6)], за исключением первой, преобразуются по формуле(7) или (8)].

Объедините все эти результаты, чтобы, наконец, достичь выражения формы п Рациональное число^Интеграла получается из приведенного выше сложения В Рациональная часть; поэтому, прежде всего, это регулярная дробь), а ее знаменатель имеет разложение 0,(Х)=(Х-с) -’… ** + ПХ|п Что касается дроби, оставшейся под целочисленным знаком, то она также правильна, так как получается из сложения дробей вида 1 и III、 П (Х)= {Х-я)…(л:* + РХ + д)… Очевидно (см.(3)), 0 = Формула (9)называется формулой острограцкого. Вы можете представить его в дифференцированной, равной форме Если мы знаем разложение (3) полинома p, мы знаем, что полиномы p и P8 легко найти. Но они могут быть определены и без этого decomposition.

Дело в том, что поскольку производная 0 ’содержит все простые множители, для которых разложен p, то она может быть определена этими многочленами, например, путем последовательного деления, поскольку ровно 1 индекс меньше, а P |является наибольшим общим делителем p и P’. Если известно 0X, то P * определяется простым делением p на P. Вернемся к определению молекул Px и P в Формуле (10).Для этого также используется метод неопределенных коэффициентов. так что l1 + l * = l, степень многочлена p, p» p » представлена π и π8 8 соответственно. Тогда степень многочлена P, P, не больше I-1, L, −1, i, −1.Заменить на P и Ry символьными коэффициентами полиномов степеней i, −1 и l, −1.Все эти коэффициенты равны n1 + pt, то есть i. (10), чтобы сделать разницу П; О-П, О; ■П, О.

Здесь мы покажем, что мы можем оставить числитель, как он есть, и всегда сводить первую дробь к знаменателю P. точно. Р ВСТАВИТЬ Р п Но это возможно（） Представлен в виде A ^ 1、 Если h означает коэффициент Весь полином. В самом деле, если (—я)П», тогда (х-я) * 1 Р! И Х я в П8. мы получаем тот же вывод о факторе в виде (x * + px {-4) m. Очевидно, что числитель и полностью делится на знаменатель. После этого, под Н, он может означать весь многочлен (степень l, −1). Освободившись от общего знаменателя P, мы достигаем тождества 2 многочленов(степень I-1). Я; П,-П,// ли, П= Р. Отсюда мы получаем систему линейных уравнений для определения алфавитных коэффициентов, введенных выше. Поскольку возможность расширения(10) была установлена, независимо от того, что такое P, упомянутая система должна быть общей для свободных условий.

Уравнивание одинаковой степени коэффициента в обеих частях дает систему уравнений, в которой неизвестные a и b определены. Людмила Фирмаль

Из этого мы можем видеть, что детерминанты отличаются от Нуйи. Это означает, что система неизбежно станет ясной, и только однозначно*может содержать разложение (10)—указанный знаменатель и 0″). Пример: Предположим, вам нужно выбрать рациональную часть интеграла 4Л * 4-4Л * 4-16Л-8 4 * 12 Л-4-8 ^ ^ (x 4-I）8（■** 4 * 1> * * У нас есть С?1 = с? Я = {А:4-1)(^ 4-Р = ^ Л ^ 4 * А:+ 1、 4LG4_ | _4LG * Ts_16L: 84 ′ 12л ’ 4-8_G olg84〜&lg4-с Т 4х ’+ ех + / (л: а + lg84-lg4-1) 8 [dg8 + л:84-л:+ 1] + л * 4-л: 8 + л:4-1 Откуда 4lg * 4-4l:3 + 16lgv + 12l:+ 8 =(2ax 4b) (l: 8 + l; 8 4-lg 4-1）(ах * 4 ьх 4-с) (Zlg8 + 2lg 4-1)+# * 4-ех+/) (lg8 4 lg8 4* 4-1). Слева. * Слева. * Lg8 Л-8 Lg1 Л-0 4-0 (затем.

Простые дроби и их интегрирование.	Интегрирование выражений вида R[x,((ax+b)/(cx+d))^(1/m)].
Интегрирование правильных дробей.	Интегрирование биномиальных дифференциалов.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.