Оглавление:
Линейные операции над векторами в координатной форме
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла
между ними:

Тогда угол между векторами и
можно определить как

Отсюда следует, что два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:
. В случае, если их скалярное произведение положительно
, векторы образуют острый угол
, если отрицательно
— тупой

Заметим, что при угол

и

Если векторы и
заданы своими декартовыми координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений их соответствующих координат:

В таком случае, условие о ортогональности векторов в координатной форме имеет вид

Условие коллинеарности векторов в координатной форме записывается в виде

Сложение, вычитание векторов и умножение на число выполняется покоординатно:

Вектор , исходящий из начала координат, с концом в произвольной точке
называется радиус-вектором точки
. При этом координаты радиус-вектора
совпадают с координатами точки
или
.
Пример:
Даны точки

Требуется: 1) вычислить координаты векторов 2) длины диагоналей
параллелограмма, построенного на векторах
и
как на сторонах; 3) угол между диагоналями; 4) скалярный квадрат вектора
.
► 1. Определим координаты векторов и
:

- Вычислим координаты диагоналей пераллелограмма:

Вычислим длины диагоналей:

- Определим угол между диагоналями параллелограмма по формуле:

где — скалярное произведение векторов, равное

В нашем случае:

- Применяя формулу умножения вектора на число, получим:

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Векторы и операции над ними в математике |
Линейная зависимость и координаты векторов в математике |
Уравнение прямой на плоскости в математике |
Уравнения прямой и плоскости в пространстве в математике |