Линейная частная регрессия
Из приведенных выше рассуждений следует, что в множественной регрессии исследуется одновременное влияние нескольких факторных признаков
на результативный признак
. При этом указывалось, что коэффициент множественной регрессии
выражает частное влияние фактора
на результативный признак
при постоянных значениях других факторов. Это означает, что между множественной и частной регрессиями нет разницы. Покажем это для трех связанных между собой переменных
и
. Предположим, что между переменными
и
существуют линейные соотношения. Представим частную регрессию
на
при исключении
. Для этого вначале найдем простые регрессии
на
и
на
. Они выразятся следующими уравнениями:

Из систем нормальных уравнений для указанных регрессий можно найти и
:

Тогда уравнения регрессий выразятся формулами:

Предположим теперь, что переменная изъята из анализа. В этом случае регрессия
на
определяется по данным
и
из которых исключено влияние
:

Так как средние арифметические переменных и
равны нулю, то уравнение регрессии по данным, из которых исключено влияние
, имеет вид:

Регрессия переменных с исключением влияния определяется коэффициентом
называемым коэффициентом частной регрессии.
Применив метод наименьших квадратов для нахождения оценки неизвестного параметра , получим

Выполняя в приведенной формуле ряд алгебраических операций, приходим к выражению, аналогичному (2.6). Этот факт подтверждает, что частная регрессия не приводит к новым результатам при исследовании зависимостей.
Итак, при изучении регрессии нет необходимости различать частную и множественную регрессии, так как коэффициенты частной регрессии совпадают с соответствующими коэффициентами множественной регрессии.
Эта лекция взята со страницы предмета «Эконометрика»
Предмет эконометрика: полный курс лекций
Эти страницы возможно вам будут полезны: