Оглавление:
«Большой степенью» мы, в соответствии с традицией, называем степень больше двух. Если степень многочлена больше четырех, то мы будем называть ее «очень большой степенью». Задача этой лекции — рассказать о том, как решаются уравнения большой степени. Но перед этим мы должны сформулировать результат, который, несмотря на свою привычность, остается непростым. Основная теорема алгебры: Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Следствие. Любой многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно
(комплексных) корней с учётом их кратности.
Более привычной является следующая формулировка основной теоремы.
Основная теорема алгебры: Всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами.
Замечание 1. Если многочлен с вещественными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет и комплексно-сопряженный корень
.
Замечание 2. Всякий многочлен с вещественными коэффициентами нечетной степени имеет хотя бы один вещественный корень.
Две следующие теоремы имеют непосредственное отношение к теме:
Теорема Безу. Если многочлен имеет корень
, то
является его множителем (многочлен делится на
).
Другими словами, если , то многочлен делится на
.
Следствие. Остаток от деления многочлена на
равен
.
Теорема Виета. Если многочлен имеет корни
, (комплексные, каждый корень повторяется столько раз, какова его кратность), то

Следствие. (Формулы Виета). Справедливы равенства
всевозможные попарные произведения
всевозможные произведения по три
Замечание 3. Каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует квадратичная функция
, где
.
Пример 1.
. Здесь
.


Пример 2.
Написать многочлен, корнями которого являются числа .
Решение:
Воспользовавшись замечанием 3, запишем две квадратичные функции: ,
;
,
. Таким образом,
.
Ответ: .
Решение кубических уравнений.
Кубическим уравнением общего вида называется уравнение . Разделив обе части равенства на
, получим
приведенное уравнение
Нашей задачей является решение этого уравнения в вещественной области, то есть нахождение всех вещественных корней. На первых шагах мы преобразуем его к более удобному и простому виду.
Шаг 1. Приведение к «неполному виду»: . Сделаем в приведенном уравнении замену
, где
— некоторое число, которое нам предстоит определить. Подставив в уравнение, получим
. Положив
,
, мы и получим уравнение нужного нам вида, а именно,
неполное уравнение
Пример 3.
Уравнение после замены
приводится к виду
.
Частный случай. Если , то уравнение имеет единственное вещественное решение
.
В дальнейшем будем предполагать, что .
Шаг 2. Приведение к «нормальной форме»: , где
равно 3 или —3. В уравнении
сделаем замену
, где
— некоторое число
, которое нам предстоит определить. Подставив в уравнение, получим
. Положим

Теорема 1. Кубическое уравнение заменой
водится к нормальной форме вида
при
или
при
. При этом в обоих случаях
.
Пример 4.
Уравнение после замены
приводится к виду
.
Шаг 3. Решение уравнения . Сделаем еще одну замену:
. После подстановки в уравнение получим:
, где
. Получившееся квадратное уравнение имеет корни
, которые удовлетворяют условию
.
Обозначим . Поскольку
числа
и
равны, следовательно, решение уравнения имеет вид

Пример 5.
Уравнение имеет единственное вещественное решение

Шаг 4. Решение уравнения . Сделаем замену:
. После подстановки в уравнение получим:
, где
. Получившееся квадратное уравнение имеет корни
.
Обозначим . Поскольку
числа
и
равны, следовательно, решение уравнения имеет вид

Пример 6.
Уравнение имеет единственное вещественное решение

Частные случаи:

Шаг 5. Решение уравнения .
В этом случае замена имеет вид . Воспользовавшись формулой косинуса тройного угла (
) получим, что
.
Обозначим . Тогда

Таким образом, мы имеем шесть значений:

Однако, из свойств косинуса следует, что . Также несложно проверить, что поскольку
, числа
и
из различны. Они и составляют набор из трех корней уравнения.
Пример 7.
Уравнение . Здесь

Решение уравнений четвертой степени.
Уравнением четвертой степени общего вида называется уравнение . Разделив обе части равенства на
и обозначая для удобства
, получим
приведенное уравнение специального вида
Нашей задачей является решение этого уравнения в вещественной области, то есть нахождение всех вещественных корней. На первых шагах мы преобразуем его к более удобному и простому виду.
Шаг 1. Приведение к «неполному виду»: . Сделаем замену
:
. После приведения подобных членов получим неполное уравнение
, где

Пример 8.
Уравнение после замены
приводится к виду
.
Частный случай. Если , то уравнение является биквадратным и решается заменой
.
В дальнейшем будем предполагать, что .
Шаг 2. Разложение на квадратичные множители. Каждый многочлен четвертой степени можно представить в виде произведения двух квадратичных. Мы покажем это для нашего случая «де факто», а именно, покажем, что найдутся вещественные числа такие, что

Для этих чисел должны выполняться равенства

Шаг 3. Решение вспомогательного кубического уравнения. Обозначим . Последнее уравнение системы 7 является кубическим относительно
. Назовем его вспомогательным кубическим уравнением:

Заметим, что это уравнение всегда имеет положительный корень, поскольку при левая часть отрицательна, а при достаточно большом
она положительна. Обозначим этот корень через
. Тогда
, а коэффициенты
и
находятся по формулам 7. Таким образом, разложение 6 получено.
Пример 9.
Решить уравнение .
Решение:
Здесь . Вспомогательное кубическое уравнение имеет вид
. Оно имеет положительный корень
, следовательно,

Таким образом, и корнями уравнения являются два вещественных числа
и два комплексных числа
.
Пример 10.
Решить уравнение .
Решение:
Здесь . Вспомогательное кубическое уравнение имеет вид
. Оно имеет положительный корень
, следовательно,

Таким образом, . Уравнение имеет четыре комплексных корня:
.
На этой странице найдёте другие готовые курсовые работы во высшей математике:
Много готовых курсовых работ по высшей математике
Можете посмотреть другие готовые курсовые работы по высшей математике:
Курсовая работа на тему: системы линейных уравнений |
Курсовая работа на тему: комплексные числа |
Курсовая работа на тему: выпуклые множества и функции |
Курсовая работа на тему: оптимизационные задачи |