Оглавление:
Множеством комплексных чисел мы называем множество выражений вида , где
и
— обычные (вещественные) числа, а
— символ, называемый мнимой единицей. При этом считается, что
. Поэтому иногда пишут:
.
Два комплексных числа и
считаются равными, если
и
. Если
, то число
является вещественным и равным
, а если
, то оно называется чисто мнимым. При этом:
- вещественной частью числа
называется число
:
;
- мнимой частью числа
называется число
:
;
- модулем числа
называется число
;
- сопряженным к числу
называется число
.
Комплексные числа подчиняются обычным правилам работы с числами и буквенными выражениями (свойствам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности). В частности,
1)
2)
3)
4) заметим, что , следовательно, если
и
определить как дробь
, то оказывается, что
— число, обратное к
, то есть
. Таким образом, если
, то

Упр. 1 Проверьте, что

Пример 1.
Вычислить , если
.
Решение. Вычислим знаменатель дроби: . Следовательно, число
не определено.
Пример 2.
Вычислить , если
.
Решение. Возведем сначала в квадрат: . Таким образом,
. Подставляя в выражение для
, получим
.
Упр. 2. Вычислите , если
.
Пример 3.
Вычислить
Решение.
Геометрическое представление комплексных чисел.
Поскольку комплексное число определяется парой вещественных
и
, естественно представить это число как вектор с координатами
на декартовой плоскости, которую обычно называют комплексной плоскостью. Ось абсцисс на ней будем обозначать буквами
, а ось ординат —
. Длина
вектора
равна
, то есть модулю числа
, а угол между положительным направлением оси
и вектором
, отсчитываемый в положительном направлении, то есть против часовой стрелки, называется аргументом числа
. При этом если угол находится в промежутке
, то он называется главным значением аргумента и обозначается
.
Заметим, что из неравенства треугольника следует, что для произвольных комплексных чисел и
выполняется неравенство

Упр. 3. Изобразите на комплексной плоскости числа
.
Пример 4.
Изобразить на комплексной плоскости числа и
и вычислить
.
Решение. Имеем, что . Далее,
. Таким образом,
и, следовательно,
.
Упр. 4. Изобразите на комплексной плоскости числа и
и вычислите
.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
Непосредственно из геометрического представления комплексного числа следует, что
и
, то есть

где — аргумент числа
. Если учесть, что аргумент определяется с точностью до
, то получим тригонометрическое представление комплексного числа в обобщенной форме:

Если , то



Таким образом, .
Аналогично: .
Из формулы для произведения комплексных чисел получаем знаменитую формулу Муавра:

Определяя корень степени как действие, обратное возведению в степень
, получим формулу

Здесь — любое целое число, однако различными эти выражения будут лишь для
значений числа
. Обычно рассматриваются
. Если мы захотим подчеркнуть зависимость корня от числа
, то будем писать
или использовать обозначение
.
Пример 5.
Найти корни уравнения .
Решение. Имеем, что





На этой странице найдёте другие готовые курсовые работы во высшей математике:
Много готовых курсовых работ по высшей математике
Можете посмотреть другие готовые курсовые работы по высшей математике: