Курсовая работа на тему: комплексные числа

Оглавление:

Множеством комплексных чисел мы называем множество выражений вида , где и — обычные (вещественные) числа, а — символ, называемый мнимой единицей. При этом считается, что . Поэтому иногда пишут: .

Два комплексных числа и считаются равными, если и . Если , то число является вещественным и равным , а если , то оно называется чисто мнимым. При этом:

вещественной частью числа называется число : ;
мнимой частью числа называется число : ;
модулем числа называется число ;
сопряженным к числу называется число .

Комплексные числа подчиняются обычным правилам работы с числами и буквенными выражениями (свойствам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности). В частности,

4) заметим, что , следовательно, если и определить как дробь , то оказывается, что — число, обратное к , то есть . Таким образом, если , то

Упр. 1 Проверьте, что

Пример 1.

Вычислить , если .

Решение. Вычислим знаменатель дроби: . Следовательно, число не определено.

Пример 2.

Вычислить , если .

Решение. Возведем сначала в квадрат: . Таким образом, . Подставляя в выражение для , получим .

Упр. 2. Вычислите , если .

Пример 3.

Вычислить

Решение.

Геометрическое представление комплексных чисел.

Поскольку комплексное число определяется парой вещественных и , естественно представить это число как вектор с координатами на декартовой плоскости, которую обычно называют комплексной плоскостью. Ось абсцисс на ней будем обозначать буквами , а ось ординат — . Длина вектора равна , то есть модулю числа , а угол между положительным направлением оси и вектором , отсчитываемый в положительном направлении, то есть против часовой стрелки, называется аргументом числа . При этом если угол находится в промежутке , то он называется главным значением аргумента и обозначается .

Заметим, что из неравенства треугольника следует, что для произвольных комплексных чисел и выполняется неравенство

Упр. 3. Изобразите на комплексной плоскости числа .

Пример 4.

Изобразить на комплексной плоскости числа и и вычислить .

Решение. Имеем, что . Далее, . Таким образом, и, следовательно, .

Упр. 4. Изобразите на комплексной плоскости числа и и вычислите .

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Непосредственно из геометрического представления комплексного числа следует, что и , то есть

где — аргумент числа . Если учесть, что аргумент определяется с точностью до , то получим тригонометрическое представление комплексного числа в обобщенной форме:

Если , то

Таким образом, .

Аналогично: .

Из формулы для произведения комплексных чисел получаем знаменитую формулу Муавра:

Определяя корень степени как действие, обратное возведению в степень , получим формулу

Здесь — любое целое число, однако различными эти выражения будут лишь для значений числа . Обычно рассматриваются . Если мы захотим подчеркнуть зависимость корня от числа , то будем писать или использовать обозначение .