Курсовая работа на тему: функции

Оглавление:

Определение функции: говорят, что задана функция , если задано множество , называемое областью определения, множество , называемое областью изменения, и правило (соответствие) , с помощью которого каждый элемент области определения сопоставляется с одним и только одним элементом множества .

При этом для обозначения функции мы пишем , или просто , если по тем или иным соображениям понятно, о каких множествах и идет речь. Традиционное обозначение также , если мы хотим подчеркнуть, какой буквой предпочли бы обозначать независимую переменную.

Область определения функции обозначается также . Множество значений зачастую обозначается через , или . Отметим, что область изменения не обязана совпадать с множеством значений, но всегда его содержит, то есть .

Для любого множества можно рассматривать так называемое тождественное отображение, которое произвольной точке ставит в соответствие саму эту точку. Это отображение иногда обозначают буквами (: ).

Подчеркнем, что задание функции предполагает задание множеств и .

Пример 1.

Рассмотрим три функции:

1) , то есть ;

2) , то есть ;

3) , то есть .

Правило, сопоставляющее аргумент с числом , одно и то же, и обозначение одно и то же, однако функции разные. Например, в первом случае функция периодическая, а в остальных случаях — нет. Третья функция имеет обратную (), а остальные — нет.

Отметим, что синонимами слова «функция» являются слова «отображение», «оператор», «операция». Выбор того или иного слова обусловлен традициями или вкусом автора. Если в качестве используется пространство , то иногда вместо слова «функция» используется слово «функционал». Если в качестве используется пространство , то вместо слова «функция» используется термин «последовательность». При этом аргумент функции пишется не как обычно, в скобках, а нижним индексом, например: . Например, когда рассматривается последовательность , то имеется в виду функция с областью определения и областью изменения .

Сюръекция, инъекция, биекция.

Функция называется отображением «на», или сюръекцией, если , то есть область изменения совпадает с множеством значений, или, другими словами, если для любого существует такое, что .

Функция называется взаимно однозначным отображением «в», или инъекцией, если для любого существует единственное такое, что .

Функция называется взаимно однозначным отображением «на», или биекцией, если она является сюръекцией и инъекцией одновременно. В примере 1 вторая функция является инъекцией, а третья — биекцией.

Отметим также, что функция называется постоянной, если во всех точках множества она принимает одно и то же значение.

Пример 2.

На изображенных соответствиях между множествами и указано, к какому классу они относятся.

Пример 3.

Пусть .

Функции являются инъекциями.

Функция, определяемая равенством , если четное, и равенством , если нечетное, является сюръекцией.

Функция, определяемая равенством: , если , равенством , если , является биекцией.

Пример 4.

Для отображений вида указано, к какому классу они относятся:

а) — инъекция;

b) — сюръекция;

с) — инъекция.

Суперпозиция функций. Обратные функции.

Рассмотрим два отображения: и . Если , то становится возможным рассмотреть так называемое «сквозное отображение»: , то есть функцию, которая каждой точке ставит в соответствие точку . Эта функция и называется суперпозицией функций и , или сложной функцией.

Если сложная функция оказывается тождественной, то есть для любой точки верно равенство , то называется обратной к . Если при этом и является обратной для , то функции называются взаимно обратными.

Теорема о существовании обратной функции.

Рассматривается функция . Если является биекцией, то существует функция , которая является обратной к , то есть и . При этом является также биекцией, и эти функции являются взаимно обратными.

Элементарные функции.

Для целого ряда функций существует договоренность об их области определения. Они рассматриваются в курсе «школьной» математики и называются основными элементарными функциями. Сведения о некоторых из них представлены в следующей таблице ().

Если зафиксирован какой-либо набор функций, названных элементарными, то этот набор можно расширить, если конечное число раз (в любом порядке) использовать арифметические операции с функциями, операции взятия суперпозиции и обратной функции, а также операции взятия сужения функции на промежуток.

Отметим, что функция , определенная на множестве , со значениями в называется четной, если: