Оглавление:
Системы линейных уравнений
Задание: Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.
Цель: формирование умения решать системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
5.1. Изучите теоретические основы решения системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.
5.2. Решите систему уравнений, используя правило Крамера:
5.3. Решите систему линейных уравнений по методу Гаусса:
5.4. Фирма для перевозки грузов может заказывать машины трех видов. Если она закажет по одной машине каждого вида, то перевезёт 12 тонн груза. Если закажет по две машины первого и второго вида и одну машину третьего вида, то перевезёт 19 тонн груза. Если же фирма закажет по две машины первого и третьего вида и одну машину второго вида, то перевезёт 20 тонн груза. Какова грузоподъемность каждого вида машин?
Методические указания по выполнению работы:
Для решения систем линейных уравнений применяют правило Крамера и метод Гаусса.
1. Правило Крамера решения системы 
линейных уравнений с неизвестными.
Система 
линейных уравнений с неизвестными имеет единственное решение, если определитель 
, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля: 
где 
— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при 
столбцом свободных членов;
— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при 
столбцом свободных членов;
— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при 
столбцом свободных членов.
Пример 1.
Решите систему уравнений по правилу Крамера: 
Решение:
Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:
Определитель отличен от 0, следовательно, система имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим , и :
По правилу Крамера найдем неизвестные:
Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.
Истинно.
Итак, решение системы найдено правильно.
Ответ: 
2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- Составьте расширенную матрицу системы — матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов.
- С помощью элементарных преобразований приведите полученную матрицу к ступенчатому виду.
- Восстановите систему линейных уравнений, равносильную исходной, начиная с последнего уравнения, и найдите значения неизвестных.
Метод Гаусса является более универсальным, чем правило Крамера, так как позволяет находить решения в следующих случаях:
- число уравнений не равно числу неизвестных.
- если в правиле Крамера
.
Ответ на вопрос о существовании и количестве решений системы линейных уравнений дает теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений): система линейных уравнений с неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы (матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных) равен рангу расширенной матрицы 
, причем:
- если
(ранг матрицы равен числу неизвестных), то система имеет единственное решение; - если
(ранг матрицы меньше числа неизвестных), то система имеет бесконечное множество решений.
Все возможные случаи решения системы линейных уравнений (одно решение, нет решений, множество решений) разобраны в примерах 2-4.
Пример 2.
Решите систему уравнений методом Гаусса: 
Решение:
Выпишем расширенную матрицу системы и приведем её к ступенчатому виду:
Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных коэффициентов
при последующих вычислениях.
Первую строку полученной матрицы умножаем последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом 
будет иметь вид:
Для упрощения вычислений умножим третью строку на (-0,1) и поменяем ее местами со второй строкой. Тогда получим:
Далее, умножая вторую строку матрицы на 9 и складывая с третьей, окончательно получим:
Восстановим из полученной матрицы 
систему уравнений, равносильную данной, начиная с последнего уравнения:
Из последнего уравнения находим: 
.
Подставим во второе уравнение системы: 
.
После подстановки и 
в первое уравнение получим: 
; 
. Итак, 
.
Проверка:
Следовательно, решение системы найдено верно.
Ответ: .
Пример 3.
Найдите все решения системы линейных уравнений:
Решение:
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.
Домножим первую строку на (-2) и сложим ее со второй строкой:
Сложим первую и третью строки:
Домножим вторую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:
Вычеркнем нулевую строку:
Видим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система имеет решения. Так как ранг матрицы (два) меньше числа неизвестных (три), то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем эти решения.
Восстановим систему уравнений, равносильную исходной:
Пусть — свободная переменная, которая может принимать любые числовые значения. Выразим из первого уравнения : 
.
Подставим данное выражение 
во второе уравнение:
Такое решение будем называть общим решением системы. Запишем общее решение системы в виде тройки чисел: 
.
Ответ: .
Пример 4.
Докажите, что система линейных уравнений не имеет решений:
Решение:
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.
Домножим первую строку на (-3) и сложим ее со второй строкой:
Домножим первую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:
Сложим вторую и третью строки:
Видим, что ранг основной матрицы (2) не равен рангу расширенной матрицы (3). Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система не имеет решений.
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:
