Задание: Действия над комплексными числами в показательной форме.
Цель: формирование умения выполнять операции над комплексными числами в показательной форме.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
53.1. Выучите, какой вид имеет показательная форма комплексного числа. Разберите, как выполнить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел в показательной форме.
53.2. Закончите высказывания:
а) 
= … — показательная форма комплексного числа, где 
— …, 
— ….
б) заполните таблицу по технике действий над комплексными числами в показательной форме:
в) Корень 
-й степени из числа имеет ровно … значений.
53.3. Заполните таблицу и постройте на одном чертеже векторы, соответствующие заданным комплексным числам:
53.4. Заданы числа 
. Выполните указанные действия над комплексными числами в показательной форме:
Символ 
, хотя и был предложен … (задание 52.4), вошел во всеобщее употребление благодаря другому великому математику. Именно он в 1831 году предложил используемое нами по сей день название таких чисел -“комплексные числа”. Слово «комплекс» (от латинского 
) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений, образующих единое целое.
В начале XIX века было получено также геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган
и наш великий математик независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой на координатной плоскости.
Выполнив задание 53.4 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы. Вы узнаете (или вспомните) фамилию этого великого математика.
Имя и фамилия математика, предложившего современное название комплексных чисел:
Карта ответов:
53.5. Решите систему линейных уравнений: 
где 
и 
можно получить, выполнив преобразования: 
.
Методические указания по выполнению работы:
По формуле Эйлера 
.
Тогда 
— показательная форма комплексного числа, где — модуль, — аргумент комплексного числа.
Действия над комплексными числами в показательной форме (аналогичны действиям в тригонометрической форме).
Пусть 
. Над ними выполнимы следующие операции:
1. Умножение: 
(5). При умножении комплексных чисел в показательной форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
2. Деление: 
(6). При делении комплексных чисел в показательной форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.
3. Возведение в степень: 
(7). При возведении в степень комплексного числа в показательной форме модуль числа нужно возвести в -ю степень, а аргумент умножить на .
4. Извлечение корня -й степени: 
(8), где 
принимает ровно значений.
Рассмотрим на примерах операции над комплексными числами в показательной форме.
Пример 1.
Для комплексных чисел 
найдите: 
Решение:
а) Согласно формуле (5) получим 
б) Используя формулу (6), находим 
в) Применяя формулу (7), находим 
.
г) Извлечем квадратный корень из 
по формуле (8): 
, где параметр 
будет принимать значения 0 и 1 (корней 2-й степени из числа существует ровно 2: 
и 
).
При 
.
При 
.
Ответ: 
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:
