Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности

Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности

• Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности Рассмотрим простой случай конечного вероятностного пространства. В этом случае Q = {u>} является конечным пространством, а $ 4> является алгеброй всех подмножеств множества q (из-за конечности si эта алгебра автоматически представляет a-алгебру).

• Вероятности P (A) из двенадцати подмножеств A в этом случае могут быть определены как: Вероятность Ю P (A) ива Определить как общее PM) = I / V (5) <Я> Слово А Легко видеть, что определенная таким образом вероятность удовлетворяет всем аксиомам (наряду с P (0) = 0). \ A | указывает количество элементов в наборе A. Частным случаем, определяющим вероятность (5), является так называемое классическое определение вероятности.

Равны друг другу. 1 = pb) = p (для A, ось В этом случае P <* '- = jrr \ And p (l) = | 4 [. (6) Людмила Фирмаль

Модели вероятностного пространства, приводящие к классическому определению вероятности, используются, когда базовое событие обладает свойством «симметрии», в том смысле, что все базовые события имеют одинаковое отношение к условиям, определяющим характер теста. , Например, бросание игральных костей или монет имеет свойство быть «симметричным» в том смысле, что теряются одна или несколько точек на одной стороне кости или монеты.

Вращательное движение (но не вокруг оси симметрии). Правильно организованные розыгрыши лотов и лотерей имеют одинаковую симметрию. Комбинаторная теория широко используется при поиске вероятностей в классических схемах определения. Мы часто используем концепцию комбинаций аранжировок, перестановок и комбинаций. Начнем с конечного множества X = {a, b, 2, …, состоящего из N элементов x /.

Допустим, я ^ N ^ N. Присвоение N элементов множества X по n элементам (короче говоря, присваивание n по n) представляет собой упорядоченную коллекцию xfj Xj ^ j элементов множества X. Два номера \ Xj, „X |> ….. равны только если все = xlk> 6 = 1 … …, н. Число всех различных расположений N элементов относительно n обозначается через An и равно N (N-I) … (Y-n + 1).

Последняя задача может быть обозначена как обобщенный порядок «» 1. Таким образом, для числа всех расположений N элементов относительно η имеем An = N * n] = N (N-1) … (N-n + .1). (7) «* Далее мы устанавливаем == 1 для любого целого числа N ^ 1. Уравнение (7) легко доказывается по индукции. Частный случай выравнивания N = n называется перестановкой элементов Λ ‘.

• Число всех перестановок N элементов An = N [N] = N (N-1) … 2-1 = PL .. (8) Из (7) и (8) формула имеет вид: N для N \ ,, / Qv (9) Комбинация из N элементов множества X относительно n является произвольным подмножеством t …, x (j мощности n Общее количество всех комбинаций N для n множества X обозначается через Cn, gp ay> «(т n \ (N-n) \ (10) Из (10) мы получаем следующее соотношение = ниже, если k является целым числом и k <0 или k> N, 0! = 1, Cdr = 1, Cjv = 0.

Пример 3. Отбор проб без возврата. Есть кость с N шариками. 1, 2 ….. л. Номер I мяч 2, …, М белый, а остальные черные. Выбор без возврата случайным образом выберет n до n шаров без возврата. В этом случае естественно принять набор всех упорядоченных множеств в качестве пространства для базового события Q = {o)} W = (<!, …….. < „) (11)

Числа a, -, 1 ^ a, — ^ TU не равны друг другу. Людмила Фирмаль

В этом случае мощность ft равна | 0 | = LH (LH-1) … (N-n + = (12) Количество элементов N, упорядоченных по заявке Рассчитайте вероятность события Am. Это состоит в том, что в выбранных n шарах находится ровно 100 белых. Для этого рассчитайте \ At \:. | Lt | = 0 / & (^ -M) | n до m1. (13) Фактически, количество элементарных событий (11) определяется как ровно 1 ^ a / ^ M в ровно m случаях:

C ™ — количество способов выбрать m координат из их общего количества. M \ M \ m \ — количество различных наборов 1 ^ a1 ^ M в отмеченных m местах. (N-Λ1) «η, 1 — число различных множеств. 1Åα / Л ‘- в другом месте. Получено из (12) и (13; h Stm ‘/ n1 (A ,, _L |)! n-t1 P (Am> ~ ‘^ • Используя (10), вероятность P (Am) может быть выражена в следующем эквивалентном виде: = (14)

Пример 4. Выборка с использованием возвращаемого значения. Есть такая же урна для голосования, но отбор n шаров из нее производится последовательно по одному мячу, и каждый раз, когда число шариков фиксируется, шарик возвращается в урну для голосования.

В этом случае пространство основного события состоит из всех видов векторов (11), и нет никаких дополнительных ограничений на координаты, за исключением 1 ^ a / ^ N. В этом случае | 0 | = LH Вероятность события Lt, рассчитанная аналогичным образом, равна P (LOT) = C, Tm » (N-нМ) ~~ m = Cn- £) n-m. (15)

Смотрите также:

Предмет теория вероятностей и математическая статистика

События	Геометрические вероятности
Вероятное пространство	Условные вероятности