Исследование стационарных точек (случай двух переменных)

Оглавление:

Исследование стационарных точек (случай двух переменных)

Исследование стационарных точек (случай двух переменных). Как и в случае функции переменной 1, экстремум не гарантируется в стационарной точке. Например Если использовать простую функцию r = xy, то r’X = y и r’y = x одновременно исчезают в начальной точке 2 = 0(0, 0). при этом в любой окрестности этой точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, и экстремумов нет. На рисунке 59 показана поверхность (гиперболический параболоид), представленная уравнением g-xy. Вблизи начальной точки она имеет форму изгиба вверх в одной вертикальной плоскости и вниз в другой. Ограничивается случаем функции 2 переменных/(x: y).

Таким образом, для достаточных условий наличия (или отсутствия) экстремумов возникают задачи об исследовании, при котором стационарная точка должна быть получена дополнительно. Людмила Фирмаль

Предположим, что эта функция определена, непрерывна и имеет непрерывный частный дифференциал первого и второго порядка в окрестности точки (o, yD стационарна, то есть удовлетворяет условию). С GX (■, Г О)= О, ГУ(Хо, УО)= о (1А). Естественно посмотреть на рассмотрение разницы, чтобы увидеть, действительно ли функция имеет экстремальное значение в точке (•>»V0 Д = Ф(Х, г) Ф(х0,У0). Используйте дополнительный член[n°160, (5)] в Лагранжевом формате, чтобы разложить его по формуле Тейлора и ограничить его до 2 членов. Однако, поскольку точка (dgo, y0) считается стационарной, первый член исчезает и просто выглядит так: Д= 1•Дх* +2Г, У•ДДу±А/}. (2） В этом случае роль инкрементных Ax, Dy играет разность x-x$, y-y0.Все производные рассчитываются в определенный момент времени (о^®топором, г^®-}-Опи).

Мы введем значения этих производных в самой тестовой точке. а \-/ Х * (^0″У0)> А1%=: / ху(х0, е),= / У3(х б е) (3） И поставил (ХД с * о 4-е 4 ^®АС) = с 4″ А11″ / ху(…)=Л1©4 ″ а19./ у*( * * * ) −4″ Таким образом, непрерывность квадратичной производной、 Все A-Axe ►0 in * ■0, Du * * 0.(4 )） Разница D записывается в следующем формате: Д= ^ | ах * 4-2ax%топор Ду 4-Дм Дю * 4 «АА 4» х Дю 4 ″ м Du3}. При установлении поведение разности A существенно зависит от знака выражения a » aaa-a \ R. Чтобы упростить аргумент, a:: = pco $ p, Ai = = p 51N 9, где p =] | Dx * / Dy * точка(X0>. Расстояние между (Y0) и(x, y).И напоследок、 D = ^ {ap cos * p + 2YC и$ 9 51n 9 {AP 31 Pass + +pw и$ 9p + 2a, следовательно з и 9 + aa8 51n * 9}. 1°.Во-первых, скажем aa ^ * 5a]> 0. В этом случае, поскольку это aa ^> 0, первое тернарное выражение в^> 0 и скобках может быть выражено как: [(в » Потому что 9 + АП ы! Н 9)* +(а» я* р) ы! па Р]. (5） Одиннадцать

Из этого следует, что скобки[…Поскольку ясно, что выражение in ]всегда положительно, то упомянутое троичное выражение не исчезает для всех значений p и сохраняет знак коэффициента a. его абсолютное значение, как функция от 9, смежно с интервалом|0.2 π], и (очевидно, положительный) минимум m \ Кредит АП Фото* 9 + 2 | С другой стороны, скобки{…Посмотрите на выражение 2-го члена 3 В }и рассмотрите(4)、 / а » потому что * Р 2А, 9, потому что 9 я! n 9 + a * a51n ^® 91 ^ I a» | + 2 | a, 8\ -) −1 a98 I C t если p только (и Dx, Dy только) достаточно мал, сразу для всех 9.Однако, скобки{…} Итак, a ^> 0, тогда]]> 0, то есть функция в точке задачи (x0, ya) имеет минимальное значение, а a >> 0 имеет [0, то есть также максимальное значение. 2°.Здесь мы предполагаем, что apa 19-a5a ^ 0. давайте подумаем о случае Альфа«> 0.

Вы также можете использовать преобразование (5) здесь. Если 9 = 9,= 0, то скобки(…Выражение В )будет положительным. Это происходит потому, что он сводится к o}.И наоборот, если вы определяете 9 = 93 из условия Vtsoz 9v [«a1» 5 * n 99 = 0(31P 9z f 0）、 Это выражение (aiai-a,*) * 5!она сводится к n * 9 и становится отрицательной. Если P достаточно мало, то скобки{…2-й член 3 выражения }произвольно мал, как 9 = 9 ^, так и 9 = 9, а знак D определяется знаком первого члена 3 выражения. Таким образом, рассматриваемые пункты (g0,…Если близко к), то в лучах, определенных под углами 9 = 9 и 9 = 9*, разность Δ будет величиной противоположной sign. So здесь нет никаких крайностей. при ac = 0 скобка{…Первое тернарное выражение в } 2a19 потому что 51p позволяют вести съемку быстро 9 + АП ы! Н9 п = СС 9•(2ahg СЗ 9 + АИ ы! N 9).

Эйлер впервые отметил необходимость выполнения условия. Людмила Фирмаль

Затем, возможно, используя факт a1aΦ0, определите угол 91Φ0、 / ИИ | / $ Т?1 / 2 / ви / / Ак Р|. Тогда, если 9 = 91 и 9 = 9, то=-94, то ранее упомянутое 3-членное выражение имеет противоположный знак, и аргументы прекращаются, как описано выше. Следовательно, a1 Xn-a * 8! Если > 0, то в исследуемой стационарной точке (x0, yy) функция Y (xy y) имеет экстремальное значение, то есть максимальное значение a >> 0 и минимальное значение a >> 0.Для Димов-нет экстремумов. для apap-a * a = 0 необходимо включить функцию высокого порядка для решения проблемы. Это» подозрительное » дело в сторону. Замечания.

Формула Тейлора.	Наибольшее и наименьшее значения функции. Примеры.
Экстремумы функции нескольких переменных.	Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла).

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.