Оглавление:
Использование принципа сохранения энергии при решении задач о колебаниях
- Использование принципа энергосбережения Когда решить проблему вибрации Часто при решении проблемы вибрации системы удобно исходить из принципа сохранения энергии системы. Поэтому, если рассматривать простейшую колебательную систему с определенной степенью свободы(рис. 515), нетрудно заметить, что при колебаниях
существует кинетическая энергия такой системы (массой пружины пренебрегают 575gde дуплексный Х= ~ ДФ- Потенциальная энергия системы, в зависимости от ее расположения, складывается из потенциальной энергии деформации пружины и потенциальной энергии нагрузки. При движении нижнего конца пружины x напряжение пружины становится(6ST4-x) (соответствующая потенциальная энергия, накопленная в пружине\, —
Позже. , Деформация пружины при добавленной нагрузке Q действует Людмила Фирмаль
статически. Энергия пружины в равновесии, т. е. x=0, ’ s / —< Следовательно, потенциальная энергия пружины увеличивается при движении со значением x И-1f7?»_ы(б ы Т4-х)^<_/п— ——————2 —————— » 2 Где: 6СТ = Escape*+=<2% — потенциальная энергия, обусловленная положением груза при перемещении в количестве F * (20.135) x, уменьшается на величину£7G= = Qx. (20.136) тогда, исходя из двух последних уравнений, суммарное изменение потенциальной энергии колебательной системы при движении груза на величину x (20.137) Поскольку нагрузка Q всегда уравновешивается начальным
напряжением, возникающим в результате статического растяжения, конечное выражение потенциальной энергии системы (20.137) совпадает с Q=0. Если использовать принцип энергосбережения и игнорировать потери энергии системы при вибрации, то сумма кинетической энергии системы и потенциальной энергии будет постоянной. Т+V=пост., Или * ^- Х2+— = пост. (20.138)) Значение константы справа от выражения 576 (20.138) зависит от начальных условий. Так, например, предполагая перемещение x==x0
- и начальную скорость x0-0 при t-0, уравнение x2+ — ^ — = — V-(20.139) (20.139) является кинетической энергией и потенциальной энергией при колебании. это единственный способ получить хороший результат. При Х-0, то есть когда нагрузка проходит через среднее положение, скорость достигает максимума, и вся энергия системы состоит из кинетической энергии. Основываясь на формуле, которую мы имеем(20.139) 4g2′ Последнее уравнение может быть использовано для расчета частоты колебаний системы. Как уже говорилось, в этом случае мы имеем простое гармоническое движение. Х-хо, потому что о/; (Х)Мекс=Хо(о Подставляя значения X и (x)max в выражение
(20.140), получаем следующее выражение cxq =9 Откуда У2= -< -. (20.141) это совпадает с ранее полученной формулой (20.2). Основанный на принципе энергосбережения, этот метод очень часто используется для решения различных инженерных задач вибрации, в том числе и более сложных, описанных здесь. В заключение указывается, что описанный здесь энергетический метод может быть использован для получения дифференциального уравнения колебаний системы с учетом определенной степени свободы. Фактически, дифференцируя уравнение(20.139)、 ^_2x Х+Х-^0.
Таким образом, мы получаем ранее найденное дифференциальное Людмила Фирмаль
уравнение движения(20.1): — П — + = 0, Или h+co2h=5 0, 19 8-2770 577gde То, что здесь описано применительно к колебательной системе с определенной степенью свободы, справедливо и применительно к упругой колебательной системе с некоторыми бесконечными степенями свободы.
Смотрите также:
| Колебания упругих тел с распределенными массами | Приближенные методы определения собственных частот колебаний упругих систем |
| Поперечные колебания призматических стержней | Явление усталости материалов |
