Оглавление:
Интегрирование правильных дробей
Интегрирование правильных дробей. Таким образом, вы можете консолидировать простой fractions. As для любой регулярной дроби ее консолидация основана на следующих важных теоремах, которые доказываются в ходе алгебры. Каждая правильная дробь Р(х） 0 {х） Конечная дробь может быть представлена как сумма простых дробей. Это разложение от обычных дробей к простым дробям тесно связано с разложением от знаменателя к простому factors. As известно, что каждый целочисленный многочлен с вещественными коэффициентами (и однозначно) разлагается на вещественные множители типа x-a и x * | px, но 2-й множитель не имеет вещественных корней, поэтому его нельзя разложить на вещественные линейные factors.
To чтобы было проще, объединяя одинаковые элементы (если таковые имеются), запишите разложение этого многочлена в виде следующего, предполагая, что ведущий коэффициент многочлена P (x) равен 1. р ()= (а)*…(х ’+ РХ + ч(3） Здесь A, m> … натуральное число. Заметим, что если порядок полинома C равен n, то сумма всех показателей A, которые суммируются с суммой 2 раз всех показателей M, очевидно, даст n. 2 * + 22> = l (4） В алгебре установлено, что каждому фактору в виде (x-a)*в разложении знаменателя обычной дроби соответствует группа из K простых дробей. (5） ^ 1 | /(АК х-(х-а) 9″ * » • » » г «(х-а) k％ И(X? для каждого фактора вида (+px + H) m-группа из M простых дробей. ЧЧ-УУ. М + ЛГА、 х ’+ РХ + ч ^(х * + РХ + Д)>Г» Γ(х * + РХ + ДГ> Кроме того, A, Mu N-числовой коэффициент.
Благодаря тому, что возможность разложения на простые фракции установлена заранее, упомянутая система никогда не будет противоречивой. Людмила Фирмаль
- Таким образом, зная разложение(3), можно узнать их знаменатели п Эта фракция разлагается до чистой фракции Для задачи определения числителя, а именно коэффициентов A, Mu N, числитель фракционной группы (5) содержит k коэффициентов, а числитель фракционной группы (6) имеет 2 m коэффициентов, поэтому, учитывая (4), Существует их сумма. Для определения вышеуказанных коэффициентов они обычно прибегают к методу неопределенных коэффициентов. п Потом встать. Знайте форму разложения фракции и запишите ее Числитель справа имеет символьный коэффициент. Общий знаменатель всех фракций, очевидно, О. Если вы добавите их, вы получите правильные пропорции).
- Если отбросить левый и правый знаменатели 0, то те же (n — 1) 2 полинома равны относительно x. коэффициенты различных степеней x правого полинома являются линейными однородными полиномами для n коэффициентов, показанных буквами. Если уравнять их с соответствующими числовыми коэффициентами полинома Ru, то в итоге получится система из n линейных уравнений, из которых будут определены символьные коэффициенты. Поясним, что было сказано в Примере. Давайте дадим дробь Есть разложение 2 раза + 2 * + 13（* −2）（** +]).
Согласно общей теореме, для нее 2х * 4 2dg +13 а Ьх + с т + е(х-2) (+я) 2х-2 А * | / −1(> +!）• Более того, поскольку указанная выше система уравнений имеет решение, каким бы ни было множество свободных членов (коэффициентов многочлена Р), ее определитель должен быть ненулевым. То есть система всегда определена. Это простое замечание одновременно доказывает единственность разложения от обычных фракций к простым. Коэффициенты A, Wu C, D E определяются на основе тождества 2 + 2 * + 13 =Л ( * * +!(*-2)+фх + е) (х-2). * ) Сумма правильных рациональных чисел всегда представляет собой правильную дробь. Если вы уравняете коэффициенты с равной степенью X на левой и правой сторонах, вы достигнете системы из 5 уравнений.
Икс * Икс * Ф * л: 1 ф0 А + Б = О、 2В + С = 0、 2L + D-2C + 0 = 2, 2B + C-20 + E = 2, A-2C-2E = 13 Откуда A = 1, B = −1, C = −2, H = −3, E = −4. Наконец. 2ж * + 2ж| −13 _ _ 1х+ 2х + 4 (L-2) (W * + 1)* » W-2 W* −1-1 (W»-| −1) a * Алгебраические факты, которые мы только что установили, применяются непосредственно к интегралу рационального fraction. As как мы видели в предыдущем выпуске, простые дроби объединяются в окончательную форму. Теперь то же самое можно сказать и о рациональных дробях. Более пристальный взгляд на функцию, в которой представлен интеграл от целого многочлена и правильной дроби, позволяет сформулировать более точные результаты.
Интеграл рациональной функции выражается в конечном виде с помощью рациональных функций, логарифмов и обратного касательного. Людмила Фирмаль
- Например, если мы вернемся к примеру, который мы только что рассмотрели, и вспомним выражение [165]выше, мы получим: 2х* +2х+ 13__ + 2 ^ Г3 * + 4 (W-2) (W * + 1)* 3 * −2 Zlg * + 1)&* + 1) I ags12 Вт 4 * С. Замечания. Простые фракции получены из Лейбница. Он легко справляется с линейным коэффициентом в знаменателе, даже если ему соответствует несколько routes. In в случае мнимого корня Лейбниц сравнивает каждый такой корень с его сопряженным и получает действительное выражение 2 из 2 мнимых линейных уравнений. Но это не всегда он.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.
