Интегрирование по частям и функции с непрерывными производными

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям. пусть u = f (x) и y = t (x) функции с непрерывными производными от x// / / ’= f’(x;) и h / = t (x).Тогда по правилу производной произведения U (uy)-yyu—yi>или uyu = 1 (m)-uigi U (ggo) выражение, очевидно, антипроизводное становится ju. Таким образом, формула является ^ u1u = uy $ tk1u. (3） Эта формула представляет собой правила интегрирования частей. Выражение integro = io9xx приводит к интегрированию выражения Например, предположим, что вам нужно найти Интеграл u = x, YY = cos x yx>, тогда это будет yi-yx% V = $ w x*), а затем по уравнению (3)、 ^ Соу Х Х (1Х = ^ 81P х ж Х ^ Х 51p позволяют вести съемку быстро топор = х б! N X + 2 X 4 * C.(4 )）попутно, чтобы получить V, нужно было интегрировать формулу cos * ^ * отсюда и название: интегрирование по частям.

Поэтому интегрирование по частям позволило заменить сложное подынтегральное выражение на простое. Людмила Фирмаль

• Нет необходимости писать самую общую формулу для V, содержащую какие-либо константы, так как достаточно представить cos * 4 хотя бы 1 способом в виде () TO. Это замечание следует иметь в виду в будущем. Применяя формулу (3) к расчету предлагаемого интеграла, необходимо разделить подынтегральное выражение на 2 фактора. если первый фактор、 Он интегрируется при переходе к правому интегралу. Заметим, что интегрирование дифференциала yu не является сложным, и что замена обоих & / и V вместе потребует упрощения integrand. So, в анализируемом примере (использование xyh для ko и$ x для u, очевидно, было бы недостатком. Если у вас есть некоторый навык, вам не нужно вводить обозначения. Вы также можете применить V и Формулу немедленно[ср. (4)].

Правила консолидации деталей более ограничены по объему, чем подстановка переменных. Но есть целый класс интегралов, например ^ х * \ нТл х х,$ х * ев! Н Шир. X выс., х? $ bhh,$ x’e™yh и др. Он рассчитывается с использованием интегрирования по частям. Образцы. 1)^ х * \ nhhh. Производная от 1pdg приводит к упрощению; таким образом、 м = 1nx, уу = х * х, следовательно, ух =〜г、^ х * 1П X ух = ХД 1Н х ^ Х1 ух = ^ х * 1П х ^ Х4 -} С. 2) (а)$ 1nj / ЛГ (б)$Хцхй. В обоих случаях yx = yo будет выглядеть так: (а)^ 1nxyx ^ х! N х ^ х г \ ПХ-х \ ПХ ^ ух = х(1П х-я)+ с; (б)^ АГС!^ * ух = х ags12 * ^ х г АГС!^ x = X ags12^ ^ * ■ * = * К 161, 4 (а)]. = х АГС!2×1П(х * 1)+ с 3)^ Х9 ы! N х-ых. ^ х * г (сое х)=-х * соѕ х ^(со $ х) Д(Х9)= =х * совд: | −2 ^ л’s05 х-ых.

• Таким образом, вы уже сократили искомый Интеграл до исчерпывающего) n * 162, (4)]; подставляя его значение, вы получаете ^ х * «УБ X ух =-х * х ГП 4-2″(л:$ МХ 4″ потому что Х)+ С. В целом, нам пришлось применить правило интеграции частей 2 раза. Кроме того, постоянно применяя это правило, Интеграл^ Р(М)Е * * * ух,^ П(Д:) 8Вт ВХ ух,^ п(м;) потому что ВХ ух、 Где P (x) многочлен о x. 4) интеграция-странный пример. ^ Е * Х, потому что ВХ УГ,^ е°х ж ВХ ух. $ $ е * * потому что ВХ УГ = ЕР * соевый ВХ 4-а еах ж ВХ Ух = е * * НН ВХ в И затем И затем Е°Х 31l в ВХ-ых, а потому что ВХ-ых. Если вы применяете частичную интеграцию к BAT(в обоих случаях b-exax, V—exx \、 Таким образом, каждый из этих интегралов был представлен другим*). $ потому что ЕР х ВХ = Б Ж ВХ 4-значение COS ВХ а * + б * О, сказал он. + с.

$ ЭА ЗШ БХ ых И zsh bx-B cos bx 2 * 4-** Е * * + С. Аналогично, найти 2-й Интеграл 5)в качестве последнего примера применения метода интегрирования по частям выведем рекурсивную формулу для вычисления интеграла Примените к нему Формулу (3), Установите Один И затем 2р-ых __-гг = ых, отсюда Йи», 7 лет. В-(д: * 4-а *)п• * {х * 4-О *)я + 1 * Возьми Х (*ДГ * 1Н = ЛГ + ар)н + 2л) (ГГК-а )п + 1 ух ’ Х. ^ = 1（» +» *） » ’（я =’•2> З> Строго говоря, конечно, нужно было добавить некоторую константу в правую часть, если вы хотите иметь ту же функцию, что и первое выражение во 2-м выражении, ссылаясь на аннотацию n * 158|.

Однако, если вы подставите выражение 2-го интеграла в первое выражение, выражение 2-го интеграла достигнет выражения первого интеграла и будет определено оттуда. Людмила Фирмаль

• Конечно, она должна была быть поглощена константами С и С в конечном выражении. Последний Интеграл может быть преобразован следующим образом: С х . ((х * [л) а. 3 (х * + б») ™топор » 3(х *(О *)я + 1 г〜 (ых (ЛС. г «3 (ДГ * + А8)» с 3(х * + 0 *)н»-} *-в• ’«+ «• Присвойте это выражение предыдущему уравнению для достижения отношения Откуда 1 х, 2л-1 1 т б + » 5yG» г йн * л + 1″ » 2la *(х * + а *） (5） ^ Н-С ^ Н » ч. 2ll * ул + 1、 Полученная формула сводит вычисление Интеграла/ n + 1 к вычислению интеграла^ n, имеющего менее 1 символа. Знание интегралов 。 1 х [n * 159, 6) (b); согласно этому значению, для n-1、 Л= 〜 1. икс oTa a’s1b2а * Xya о * 1 2а * Л Один 3л = л 4а *(х * + а * г 1 4а * 4а х * (х * + а ） + 8? \ ХГ ’ а * 8а * AGS1& а [См. n°161.5, что мы вышли за пределы другого пути).

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Простейшие правила интегрирования.	Постановка задачи интегрирования в конечном виде.
Интегрирование путем замены переменной.	Простые дроби и их интегрирование.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.