Оглавление:
Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием или взятием его как интеграла от некоторой сложной функции удастся далеко не всегда. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной удастся свести заданный интеграл к новому интегралу, который чаще всего является табличным.
В основе метода подстановки лежит утверждение, являющееся следствием правила дифференцирования производной сложной функции. Пусть задана сложная функция . Тогда исходный интеграл можно привести к виду:
. Эта формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.
Приведем алгоритм нахождения неопределенного интеграла методом замены переменной.
- Введем новую переменную
таким образом, чтобы под знаком интеграла стояла функция, содержащая
, и производная
(
).
- Найдем
по формуле:
.
- Выразим
через
(при этом помним, что если множитель в одной части формулы находился в числителе, то в другую часть он перейдет в знаменатель и наоборот: если множитель находился в знаменателе, то в другую часть он перейдет в числитель).
- Подставим
и
в исходный интеграл. Если подстановка выполнена верно, то произойдет сокращение одинаковых множителей и интеграл сведется к табличному относительно переменной
:
.
- Вычислить интеграл с переменной
.
- Перейти от переменной интегрирования
к исходной переменной
.
Рассмотрим применение метода подстановки на конкретных примерах.
Пример №19.8.
Найдите .
Решение:
1. Выполним подстановку с целью прийти к интегралу от функции
.
2. Найдем по формуле
:
.
3. Выразим из выражения пункта 2
.
4. Подставим и
в исходный интеграл:
. Видим, что
можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной
:
.
5. Для нахождения полученного интеграла константу вынесем за знак интеграла:
. По таблице неопределенных интегралов находим, что
.
6. Поскольку .
Ответ: .
Пример №19.9.
Найдите .
Решение:
1. Выполним подстановку . Тогда под знаком интеграла будет стоять функция от
и производная
.
2. Найдем по формуле
:
.
3. Выразим из выражения пункта 2
.
4. Подставим и
в исходный интеграл:
. Видим, что
можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной
:
.
5. По таблице неопределенных интегралов находим, что .
6. Поскольку ,
.
Ответ:
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Непосредственное интегрирование. |
Интегралы от некоторых сложных функций. |
Метод интегрирования по частям. |
Интегрирование простейших рациональных дробей. |