Оглавление:
Напомним, что функция вида , где
,
— постоянные коэффициенты, называется многочленом или рациональной функцией. Число
называют степенью многочлена.
Дробно-рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов, т.е. .
Рассмотрим некоторые простейшие интегралы от дробно-рациональных функций:
1.1. Для нахождения интегралов вида (
) будем пользоваться интегралами от некоторых сложных функций:
.
Пример №20.1.
Найдите интеграл .
Решение:
Воспользуемся приведенной выше формулой .
Получим, что
1.2. Для нахождения интегралов вида (
) будем применять метод выделения в знаменателе полного квадрата. Исходный интеграл в результате преобразований сведется к одному из двух табличных интегралов:
или
.
Рассмотрим вычисление таких интегралов на конкретном примере.
Пример №20.2.
Найдите интеграл .
Решение:
Попытаемся выделить в знаменателе полный квадрат, т.е. прийти к формуле .
Для этого представляем как удвоенное произведение
. Следовательно, к выражению
чтобы получить полный квадрат следует добавить квадрат числа два, т.е. 4:
. Но, чтобы выражение в знаменателе не изменилось, нужно из
вычесть 4. Получим следующую цепочку преобразований:

Вычислим полученный интеграл методом подстановки. Положим , тогда
. Подставим
и
в полученный интеграл:
. Воспользуемся табличным интегралом:
, где
. Получим, что
. Подставим вместо
выражение
:

Ответ:
1.3. Для нахождения интегралов вида (
,
—
) будем применять следующий алгоритм:
- Выделим в знаменателе полный квадрат.
- Выражение, стоящее в скобках, обозначим новой переменной
. Найдем
,
и подставим их вместе с
в исходный интеграл (получим интеграл, содержащий только переменную
).
- Разобьем полученный интеграл на сумму двух интегралов, каждый из которых вычислим отдельно: один интеграл решается методом подстановки, второй сводится к одной из формул
или
.
Пример №20.3.
Найдите интеграл .
Решение:
1. Попытаемся выделить в знаменателе полный квадрат. Для этого представляем как удвоенное произведение
. Тогда к выражению
следует добавить квадрат числа три, т.е. число 9:
. Но, чтобы выражение в знаменателе не изменилось, нужно из
вычесть 9. Получим цепочку преобразований:
2. Введем следующую подстановку: пусть (значит,
), тогда
. Подставим
,
,
в интеграл
:

3. Представим полученный интеграл как сумму двух интегралов:
. Найдем их отдельно.
3.1 Первый интеграл вычисляется методом подстановки. Обозначим знаменатель дроби , тогда
. Отсюда
. Подставляем
и
в интеграл
и приводим его к виду:
Осталось вернуться к переменной
. Поскольку
, то
3.2 Второй интеграл вычисляется по формуле:
(где
). Тогда
.
3.3 Исходный интеграл равен сумме интегралов, найденных в пунктах 3.1 и 3.2:
.
Ответ: .
Методы интегрирования других рациональных функций рассматриваются в полном курсе математического анализа (см., например, Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике, ч.1- М.:Айрис-пресс, 2006.).
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки). |
Метод интегрирования по частям. |
Интегрирование некоторых иррациональных функций. |
Универсальная тригонометрическая подстановка. |