Наибольший интерес представляет вопрос о направлении быстрейшего возрастания функции в точке
. Вопрос просто решается с помощью вектора -градиента функции
.
Градиентом функции в данной точке
называется вектор, расположенный в плоскости
с началом в точке

Основное свойство градиента: направление градиента функции в точке является направлением быстрейшего возрастания функции, его модуль равен наибольшей скорости возрастания в заданной точке.
Другое свойство градиента: он перпендикулярен касательной линии уровня, проходящей через точку начала градиента.

Иллюстрация свойств градиента — на рисунке 8.2. Показаны линии уровня , причем
.
Через точку , лежащую на линии с уровнем
проведены касательная и градиент, которые перпендикулярны друг другу. Градиент направлен в сторону возрастания функции
.
8.6 Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума
Точка называется точкой максимума функции
, если значение функции в этой точке больше, чем её значение в любой другой точке некоторой (хотя бы малой) окрестности точки
. Аналогично (с заменой «больше» на «меньше») определяется точка минимума функции.
Точки минимума и максимума объединяются под общим названием точки экстремума.
Для функции двух переменных точка имеет две координаты
для функции трёх переменных — три координаты
. При этом окрестностью точки
является открытый шар с центром в этой точке.
Поиск критических точек, т.е. точек в которых может быть экстремум функции , производится при помощи необходимого условия экстремума:

Решение системы (8.12) определяет координаты критических точек
Однако необходимого условия мало для существования точек экстремума.
Нужно провести исследование критических точек с использованием достаточных условий экстремума.
Для функции двух переменных введём обозначения для вторых частных производных в критической точке
:

Достаточные условия приводим в таблице 4.
Таблица 4 — Достаточные условия экстремума функции двух переменных

Пример:
Дана функция и точка
. Найти градиент функции
в заданной точке
.
Решение:
Используем формулу градиента

Определяем частные производные и вычисляем их при .

При вычислении частной производной по одной из переменных вторая переменная считается постоянной величиной.
Значения частных производных подставляем в формулу градиента:

Ответ: .
Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Полное приращение и полный дифференциал |
Производная по направлению |
Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума |
Основные определения о дифференциальных уравнениях |