Оглавление:
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- Формула Тейлора с остаточными членами в виде Пеано. Шаблон a * 12.15 n>если L-целое число, то функция I=x2,,, XT) задана, а n-1X дифференцируема Если * L=1, то функция u=f (Af) задается только в окрестности точки E точки Mo и должна быть дифференцируемой в самой точке L4o. «- Окрестности точки Афо (xi°, x2°,…И » в самой точке Мо * когда-то дифференцируемо. Тогда для любой точки M из
указанной e-окрестности справедливо следующее уравнение-. —(Тоже мне+. . . +- дну 21 / m0p\ +o (R»). (12.58) .е-п обозначает расстояние P(Af0, м), а символом-о (РП) обозначает функции порядка меньше, чем P»при p->0 (или М-+МО). Формулы(12.58) называется Ф О Р М Л О Г Т е й Л О Р А(l1o в центре) Ф О Р М Е П О ЕАН остаточный срок. З а м е ч а н и Е. в более подробном изложении формулы Тейлора ( (12.58)
принимает форму f (XP x2,••). > = f(X [, x2,. . . Горячий)+ п +U — (H1-h°1)— — N•• * +(HT- Людмила Фирмаль
HT) y=1 ‘ 1 d’DH t Икс X f(x?2, x°… (T, x°t)+o (RP). Заметим, что справа от (12.59) (12.59) находится сумма полиномов » степени n переменной T x 2,…, HT и остаточный член o (RP). Разница между GN (M) CM) и обозначена.Многочлен, то есть GN (M)=f (M) — f(My) — п Теорема * 12.15 при условиях этой теоремы gn (M)=o (RP).§5. Производные более высокой степени и неравенство 501 Доказательству теоремы 12.15 *
предшествуют две леммы. Л ем М1. Для функций x2,***, HT, m0 (x1°, x2°,… И сама функция g n (M), определяемая уравнением (12.60), и все частные производные для любой переменной xi, x2…HT, пока вы не прикажете n включительно исчезать в L10. Д О К а з а т е л ь с Т В О. При N=1 функция (12.60) принимает вид г л (M)=f (M)-f(M0)-(x1-x°l) (7I0) -… — (x m-x°m) t / Xj ККл И равенство.£ 1 ( 0 = 0 , — ^ ( M o)=O все i=l, 2,…м
- будет проверять начальную школу. Для выполнения индукции мы предполагаем, что Лемма оказывается действительной для некоторого числа n>1, а также действительна для числа n+1 в этом случае. Пусть функция f (M) является N+1X производной от a1 p-pl=f (a l) — f (M0) — ^ — i — к=I £n+i= Равенство GN+i (L1)=0 проверяется элементарно (достаточно подумать, что каждая скобка (x,—x<°) в (12.61) исчезнет на 0 пунктов). Нам остается доказать, что i=l, 2,…m — это сама функция dgn+t. ЦТ^’ достаточно доказать, что n+1(M) определяется равенством типа (12.60), а точнее равенством. (М) df dxt формат DGN+я ДХ[ Все переменные — x, (i-1,2,…, tn) равно и
симметрично входит в Формулу gn+i(-M), но в случае i=l достаточно доказать знак равенства (12.62), то есть знак равенства 502 главы 12. Функции некоторых переменных L=1 dgn+i Dxx (М) ДФ dxx по ДФ и dhg В — d DHT * — ^(M0). (12.63) Да.} Из (12.61), для доказательства (12.63), каждое число k=\, 2,…Фиксированный, x2, Hz, p+1—, HT d1* NM0)= ■ * — L df Потому что в отношении Xi переменные дифференцированы…, XT будет фиксированным, а затем размер D-(x2-x°)+… +(HT-h°t) — Ч, Ч — 0х1 (12.64) x2, X3,… Если производная по Xi рассматривается как константа- д. ing к этому Вам нужно добавить его, так как символы—,—> 0X1 их^ …
Функция F f используется для образования частных производных от f и K C и p o N n o-й точки M0, а затем выделяется Xi. Людмила Фирмаль
Благодаря вышесказанному, чтобы доказать равенство(12.64), достаточно убедиться в справедливости равенства d D D x (Xi-xf) G n d1 * дифференциальная функция (XX+H°) — — — — — N D L dx! Учитывая независимость Xi символа D и■выше, мы получаем равенство (12.65). Индукционный Завер- И dhg По Си как Сиена. Лемма 1 доказана. Л е м м А2. G (M)=g (xi, x2,…, ХТ)имеет дополнительные функции, которые удовлетворяют двум требованиям:1) дифференциальные N раз с a4o(Си°, Х2°,…2) сама функция g (M) и все частные производные от любой переменной Xi, x2,…, HT order n inclusive,§5. Производные и дифференциал таможни 50 выше» Ноль в указанной точке МО. Тогда для функции g (M) справедлива оценка g (M)=o (pn), а в (12.66)
расстояние между точками M и Mo p (M, mo) обозначается п. для P-1 утверждение леммы следует из условия Дифференцируемости функции g(M) в точках Mo вида G(M)-g(M0)=^—^(M o) (X9-X9)+o(p). * См. пункт 12.16, отношение 2,§4 в этой главе. **То есть в множестве точек вида M0+t (M-L10), t-любое число из отрезка 01, а также действительна для числа n+1 в таких случаях. Так что функция g (M) удовлетворяет двум требованиям леммы 2d l I n o m er A n+1. Тогда ясно, что эта первичная функция (M), i=l, частный дифференциал 2…, ПГ, будет И dhg- Лемма удовлетворяет двум требованиям 2d l i n o m er a p, поэтому (благодаря предположениям, которые мы имеем о справедливости леммы 2 для нескольких p) Справедливая цитата
также oh!/ ( * ) 12.66 Заметим, что функция g(M), удовлетворяющая двум требованиям леммы 2 для чисел n>1, n+1>2 и N+1, дифференцируема по крайней мере один раз в окрестности Mo, поэтому для этой функции g (M) выполняется условие теоремы для числа n=0 12.15. Согласно этой теореме, для любой точки M из достаточно малой e окрестности точки Mo на отрезке*M0M справедливо уравнение m g (M)=g (Mo)+-y — A в такой точке N равно (L0. I=l1 Точка N находится между точками Mo и M, p — расстояние между точками L1o и M, p (N, ui0)) (12.66 это^ — W=o(Pn) — DX (504CH. 12. Функции некоторых переменных Подставляя последнюю цитату
для(12.67) и предполагая£(L40)= = 0、 Тонны g (M)=o (pnY)|xz-XP/. 1=1 Xt-x° / < V2 (x i»x») 2= = P>m s наконец — ‘ 1=1 предположим, что g(M)=o (pn+1). Индукция завершена. Лемма 2 доказана. Теорема 12. 15 * легко выполняется Леммой 1 и 2. Фактически, для доказательства теоремы 12.15, когда выполняются условия этой теоремы, достаточно доказать, что оцененное значение gn (M)=o (pn) справедливо для функции (12.60). Благодаря Лемме 1, сама функция(12.60) и все ее частные производные, поверх любой переменной XY×2…HT исчезает в порядке n включительно L40. Но тогда, благодаря Лемме 2 для функции(12.
Смотрите также:
