Формула Лейбница

Оглавление:

Формула Лейбница

Формула Лейбница. Как указывалось в начале предыдущего выпуска, правила I и II раздела 83 применяются непосредственно к производным инструментам любого порядка. Ситуация сложнее в правиле III, которое связано с дифференциацией произведений. предположим, что функции u и V из x выводятся индивидуально для порядка l. докажите, что его произведение y = uy также имеет I-ю производную и найдите ее представление. Используйте правило III, чтобы постепенно дифференцировать эту работу. Мы это выясним： у = З ’ от/, г «= у% -|-2» В от/’、 Г «= н«Ч> + з В + 3 «В + С /»,… Легко заметить законы, по которым строятся все эти формулы: их правые стороны подобны разложению двоичных файлов: и (И -) V) 3, («+r») 3,…только вместо альфа V-производная соответствующего порядка.

Чтобы доказать его эффективность, мы снова прибегаем к методу математической индукции. Людмила Фирмаль

Сходство будет более полным в полученное выражение вместо и, V напишите распространение этот закон в случае η становится общей формулой*)： г » Ул)= (И») = 2 su ’ ■ ■Vy = 1 = 0 И © р » + / ш(л-в+«（ «-„） “» + … (1） Я (н-1)…(П-+ 1) а(n_0r)( «+ … + »» < » >. для некоторого значения n мы предполагаем, что это верно. Если функции u, V существуют и существует (n-1) я производная, то мы можем снова дифференцировать относительно (1) x \： г н + о = 2 с / [х(п-1)^ ой = 2 си +2 1 = 0 0 = 0 1 = 0 Объедините адденды последней суммы обоих, включая одно и то же произведение производных функций u и V(сумма порядка производных таких произведений всегда будет равна l -] 1 для удобства просмотра).

Произведение q * » * 1 ^ 0 включается только в первую сумму (если 1 = 0). Коэффициента эта сумма составляет с » = 1.Аналогично, n (oMn + 1>входит во 2-ю сумму(все остальные продукты в этих суммах находятся в порядке 1 соответственно Такое произведение встречается как в первой сумме (термы 1 = k), так и во второй сумме(термы 1 = K-1). Сумма соответствующих коэффициентов будет равна Сд + Су, но как вы знаете、 От C до I lM _ _ _ lx л » Т * ^ Л-^ Л + 1」 * ) Символ 2 означает сумму терминов одного типа. Если термин зависит от 1 значка, который изменяется в пределах определенной границы, эти границы обозначаются (снизу и сверху).Например л = + Эл 1 = 0 И так далее 2Х = 1 + Г + Т ±+ ^ Итак, в итоге вы увидите следующее: н yn + 1)_ m(n + 1) 2 {Фп + 1 > −1 v + uk9) BKN * 1}= 3 Л-1П л + 1 = 2С,, иКя + 1) л1гг ()> Л-О-о С СХ +.= в C#!= 1.

Заметим, что такая же формула может быть установлена для производной n-го порядка произведения нескольких факторов. Людмила Фирмаль

Для y++), я получил выражение, которое полностью похоже на выражение (1) (только n было заменено числом n-}-1). Установленная формула называется формулой Лейбница. Часто это помогает вывести общую формулу производной n-го порядка. y = M… It аналогично разложению степени многочленов (И+ К + Пример найти общую формулу производной L-го порядка функции потому что ВХ-я ^ а * dj_ * б * * ВХП ^ п 1 2（3—» **** ’aP * b1 * cos bx 4 -… Согласно формуле Лейбница, она выглядит так: yy * = eax * an * $ w bx + peah * an-1 b * у = еах * 51n ВХ. Или гг)=Е^®* | К Б ^ К—Б% + + +Соя bx ldya ’ 1 b-5th * b * +.

Определение производных высших порядков.	Дифференциалы высших порядков.
Общие формулы для производных любого порядка.	Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.