Оглавление:
Определение 1. Двумерной 
— окрестностью точки 
называется множество точек 
, принадлежащих открытому кругу радиуса 
с центром в точке и обозначается 
.
Если при фиксированном числе точка 
— окрестности (символика 
), то говорят, что точка близка к точке . Если точка 
, то говорят, что точка далека от точки 
.
Если точка принадлежит множеству 
вместе со своей — окрестностью , т.е. со всеми своими близкими точками , то она (точка ) называется внутренней точкой множества .
Определение 2. Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции 
, если для всех точек из области определения функции, близких к точке выполняется неравенство 
(соответственно, 
).
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции.
Если точка — точка локального максимума (минимума) функции , то около точки 
трехмерного пространства график функции имеет вид «шапочки» (соответственно, перевернутой «шапочки») см. рис.
Слова «максимум» и «минимум» можно заменить одним «экстремум». Аналогично определяется экстремум функции трех и большего числа переменных.
Экстремум функции нескольких переменных может достигаться лишь в точках, лежащих внутри области ее определения, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль. Такие точки называются стационарными. Для функции двух переменных стационарные точки находятся из системы уравнений:
Условия (1) являются необходимыми условиями существования экстремума.
Достаточные условия экстремума для функции выражаются с помощью определителя 
.
где 
, а именно:
1) если 
, то — точка экстремума: при 
(или 
) — точка максимума, при 
( или 
) — точка минимума.
2) если 
, то в точке 
нет экстремума.
3) Если 
, то вопрос о наличии или отсутствии экстремума функции остается открытым (требуется дальнейшее исследование функции, например, по знаку приращения 
вблизи этой точки).
Пример №1
Найти экстремум функции 
.
Решение:
1) Находим частные производные первого порядка
2) Воспользовавшись необходимыми условиями, находим стационарные точки
Из первого уравнения системы получим 
. Таким образом, найдены две стационарные точки 
и 
.
3) Находим частные производные второго порядка и их значения в стационарных точках: 
.
В точке 
и в точке нет экстремума.
В точке 
, и в точке 
функция имеет минимум. Величина этого минимума 
.
Пример №2
Исследовать функцию 
на экстремум.
Решение:
Здесь стационарной точкой является (0; 0). В этой точке 
и поэтому , т. е. теорема не применима. Но поскольку в точке (0; 0) будет 
, а во всех остальных точках 
, то ясно, что здесь мы имеем минимум. Разумеется, что не всегда дело обстоит так просто.
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
| Производные и дифференциалы высших порядков |
| Касательная плоскость и нормаль к поверхности |
| Условный экстремум |
| Производная в данном направлении. Градиент функции |
