Частными производными второго порядка функции называют частные производные от ее частных производных первого порядка. Обозначения:

Если смешанные производные и
непрерывны, то результаты дифференцирования не зависят от порядка дифференцирования, т. е.
.
Аналогично определяются частные производные более высокого порядка:

Частные производные третьего и высших порядков, отличающиеся только последовательностью дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.
Дифференциалы второго, третьего и более высоких порядков функции определяются формулами
и т. д. Они выражаются через частные производные следующим образом:

Вообще справедлива символическая формула ,
которая формально раскрывается по биномиальному закону.
Пример:
Найти смешанную производную второго порядков для функции .
Решение:
Найдем частную производную первого порядка по переменной :

Теперь дифференцируем повторно по переменной :

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Функций многих переменных |
Частные производные и полный дифференциал функции |
Касательная плоскость и нормаль к поверхности |
Экстремум функции нескольких переменных |