Двойной интеграл: свойства, определение и примеры с решением

Оглавление:

Пусть на замкнутой области Двойной интеграл плоскости задана непрерывная функция . Разобьем область на частей и возьмем точки (рис. 3). Составим сумму . Эта сумма называется интегральной суммой для функции Двойной интеграл в области .

Двойным интегралом Двойной интеграл (1) от функции , распространенным на область , называется предел интегральной суммы при , если этот предел существует и не зависит от способа дробления области Двойной интеграл на элементарные ячейки и выбора точек в них; где — наибольший диаметр ячеек , называется подынтегральной функцией, — областью интегрирования, — элементом площади. В прямоугольных координатах Двойной интеграл .

Геометрический смысл двойного интеграла. Если в интеграле (1) подынтегральная функция и поверхность является непрерывной, то двойной интеграл представляет собой объем прямого цилиндра с образующей параллельной оси , ограниченного снизу конечной замкнутой областью плоскости , сверху — поверхностью Двойной интеграл .

Двойной интеграл обладает всеми основными свойствами определенного интеграла:

1. Область интегрирования двойного интеграла можно разбить на части

Двойной интеграл , где ;

2. Двойной интеграл от суммы функций равен сумме двойных интегралов от всех слагаемых

3. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла

Область Двойной интеграл называется стандартной ( — трапецией) относительно оси , если она представляет собой криволинейную трапецию (рис. 4): , , где и — однозначные непрерывные функции на отрезке Двойной интеграл . Причем любая вертикаль, проходящая через точку , пересекает границу области только в двух точках.

Область Двойной интеграл называется стандартной ( — трапецией) относительно оси , если она представляет собой криволинейную трапецию (рис. 5): , где и — однозначные непрерывные функции на отрезке Двойной интеграл . Причем любая горизонталь, проходящая через точку , пересекает границу области только в двух точках.

Вычисление двойного интеграла (1) сводится к вычислению одного или суммы нескольких двукратных интегралов вида Двойной интеграл . В этом выражении сначала вычисляется интеграл, стоящий в скобках, причем интегрирование производится по , а считается постоянным. Как правило, пределы при первом интегрировании являются переменными. Пределы при втором интегрировании всегда постоянны.

Если область — стандартная относительно оси (рис. 4), то двойной интеграл удобно вычислять по формуле .

Если область — стандартная относительно оси (рис. 5), то двойной интеграл удобно вычислять по формуле .

Если область Двойной интеграл — нестандартная (рис. 6) и ее удается разбить на сумму стандартных областей, то при вычислении двойного интеграла используют его первое свойство.

Величина двойного интеграла не изменится, если его вычислять сначала по переменной Двойной интеграл , а потом по переменной , или наоборот.

Пример №1

Изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле

Решение:

Область интегрирования Двойной интеграл ограничена кривыми и (рис. 7). Отсюда, изменяя роли осей координат, получаем и .

Следовательно,

В рассматриваемом примере, поскольку область интегрирования является стандартной относительно оси , двойной интеграл проще вычислять сначала по переменной , потом по переменной .

Для преобразования двойного интеграла, отнесенного к прямоугольным координатам, в двойной интеграл в полярных координатах нужно в подынтегральном выражении прямоугольные координаты заменить полярными: , а вместо подставить . При этом уравнения линий, ограничивающих область интегрирования, также преобразуются к полярным координатам.

Площадь Двойной интеграл плоской области в прямоугольных координатах равна двойному интегралу , в полярных координатах — .

Масса Двойной интеграл плоской фигуры, занимающей область , с поверхностной плотностью , статические моменты и , координаты центра тяжести , моменты инерции относительно осей Двойной интеграл и ( и ) и начала координат выражаются по формулам:

Пример №2

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах Двойной интеграл .