Оглавление:
Наибольшее и наименьшее значение функции
Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области , достигает в ней наибольшего и наименьшего значения или в критических точках, или в точках, лежащих на границе области.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой ограниченной области необходимо:
- Найти критические точки лежащие внутри данной области и вычислить в них значения функции;
- Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;
- Сравнить все полученные значения функции: самое большее (меньшее) и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в данной области.
Как правило, граница области разбивается на ряд участков, каждый из которых определяется уравнением вида
или
,
. Вдоль такого участка границы функция
превращается в функцию только одной переменной
(или
). Иногда граница области
может задаваться параметрическими уравнениями:
. В этом случае функция
превращается вдоль границы в функцию параметра
:
. Поэтому задача нахождения наибольшего и наименьшего значения функции
на границе области
сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной.
Пример №1
Найти наибольшее и наименьшее значения функции


Решение:
Изобразим на координатной плоскости область
.
Область представляет собой треугольник
.
1) Найдем критические точки, лежащие внутри к .

критическая точка, лежащая внутри , причем
.
2) Исследуем теперь значения функции на контуре треугольника.
На стороне :
при имеем
.
Найдем критические точки

Найдем значения функции на концах отрезка :

На стороне :
при имеем
.
Найдем критические точки

Найдем значения функции на концах отрезка :

На стороне :
при имеем
.
Найдем критические точки

Значения функции на концах отрезка найдены ранее.
В итоге получим следующую таблицу возможных наибольших и наименьших значений функции.
Таблица 1

Из таблицы видно, что наибольшее значение .
Пример №2
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге
.
Решение:
Эту задачу можно решить аналогично первой задаче. Приведем второй способ решения. Окружность имеет следующие параметрические уравнения
. Подставляя эти выражения для
и
в формулу
, получим функцию одной переменной
:
, т.е.
.
Находим критические точки:
, но
, следовательно,
,
. Находим значения в критических точках и на концах отрезка
:

Следовательно, .
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Условный экстремум |
Производная в данном направлении. Градиент функции |
Метод наименьших квадратов |
Двойной интеграл |