Оглавление:
Достаточные условия локального экстремума функции m переменных
- Достаточные условия для локальных экстремумов функции переменной M. При формулировании достаточных условий для локальных экстремумов функции t переменной u-f (M) важную роль будет играть вторая производная этой функции в точке L10. В пункте 2 настоящей главы 5 мы видели, что для случая, когда аргумент xi, x2, XT вдвое превосходит дифференциальную функцию u=f(xi, x2,…Второй дифференциал этой функции в данной точке Mo является дифференциалом аргумента dxi, dx2.., Декстрометорфана в следующем виде:Т Т^2 » |М0=г aikdXidxk, (12.69) г*=1 *Все определения и описания даны здесь, например, В. А. Ильиным и Е. Г. Позняком » линейная алгебра «(М. можно найти в книгах» НАКа»,» наука», 1974).
Куда? ■A1K=a и= — ^ — (M0). (12.70) DX^ox^чтобы сформулировать достаточные условия для локальных экстремумов, нам нужна некоторая информация из теории квадратичной формы, которую мы приводим ниже для удобства читателя. Привет, h2, квадратичная форма о переменных…… hm tn m f(Aj, h2,.. . Привет(12.71) З=Л К=L называется П О Л О З Л Л О П Р Е Д Е Л Ь Н О Г[он Л Л Л Н О О П Р Д Е Н О Г] при любом значении привет,Н2,Н2,сек.. …, hm, не равно нулю, и в то же время эта форма принимает строго положительное [строго отрицательное] значение. Квадратичная форма(12.71) называется положительно определенной или отрицательно определенной в случае Zn K o o o p R e d e l e n n o y.
Квадратичная форма (12.71) называется z n A K o p e m e e n n, если она принимает как строго Людмила Фирмаль
положительные, так и строго отрицательные значения.§b. локальные экстремумы 507 Квадратичная форма(12.71) называется z и z n A K o o p R e-de len n Oy K,которая исчезает при некоторых значениях/G h2,…в то же время, hm, не равна нулю. Мы формулируем знак определение так называемой К Р и Тер и я м с И Л В Е С Т Р квадратичная форма*. М а т р и С Е Й К В А Д Р А Т и ч н о й ф ОРМ ы (12.71): И= (12.72) Если все элементы матрицы a имеют условие aiA= — a^(1=1,2,…m;A=l, 2…….In в этом случае указанная матрица называется C и m M e t R и h n o y. Назовем G l A b n s M I n o a m I(12.72)следующим определителем симметричной матрицы: ±A2a11a12 в g1a22 А3=
11a12a13^21^22^23 > • • • > ^AP — a11a12 » a21a22“ * Прицеливание На 31°32A33 * * мм Критерии Сильвестра формулируются в виде следующих двух предложений: 1°. Для квадратичной формы(12.71) симметричная матрица(12.72)положительно определена, что все главные миноры матрицы (12.72)положительны, т. е.,>0, A2>0 справедливо неравенство.., В>0. 2°. Для того чтобы квадратичная форма (12.71) и симметричная матрица (12.72) были определены как отрицательные, необходимо, чтобы главные минорные знаки матрицы (12.72) появлялись попеременно, а символ [4]был
- отрицательным., Справедливое неравенство L1<0,^2>0, 4z<0, L4>0,…. В этой статье мы формулируем и демонстрируем теорему, которая определяет достаточные условия для локального предела. А12. 16. Функция переменной m u=f (M)=f (X, x2,)…, xm), некоторая окрестность точек МО (x\°, x2°,…Mo (HT°, HT°) дифференцируемо и дважды в самой точке Mo. Кроме того, точка Af0 неподвижна- Сильвестр был английским математиком (1814-1897).508Ч. 12. Функции некоторых переменных Точка функции u=f (M), т. е.£/I / mo=0. Тогда, если вторая производная (12.69), (12.70) является положительно определенной[определенной до отрицательной]квадратичной
формой от переменной dx, dx%…, dxm, и=[(M) имеют локальный минимум[локальное максимальное значение]в МО. Если вторая производная (12.69), (12.70) имеет попеременно квадратичную форму, то функция u=f (M) не имеет локальных экстремумов в МО. D o K a z a t e l s T V o. мы сначала докажем первую часть теоремы, учитывая уверенность в том, что вторая производная (12.69), (12.70) является положительно определенной квадратичной формой от переменной dx, dx%…, ДХМ. В этом случае функция u=f (M)оказывается имеющей локальный минимум в Af0. Возьмем эту формулу l=*
и разложим функцию u-f (M) в окрестности точки L40 по формуле Тейлора с Людмила Фирмаль
остаточным членом в виде Пеано.2 таким образом、 *Для функции u=f (M) все условия теоремы 12.15выполняются при n=2(см. пункт 4§5 настоящей главы). (Mo)=du|M0+ — j-d2u|M0+o(P2), (12.73)и эквивалентные (12.73) производные dxt переменные x-lt£ / и / LC и of2u[aj0 включают соответствующие Xi-x,°эти переменные.. +(dxm) 2= = G (X!- HO) 2+(x2-X°) 2+.. +(xm~x°). (12.74) точки МО стационарны по условиям теоремы. Таким образом, исходя из результатов предыдущего пункта g/I / LGO=0, данное уравнение задается, предполагая уравнение второй производной DDI=xt-Xi°(12.69), (12.70), а уравнение Тейлора (12.73) задается следующей формулой:: м м м S°» (^- x°) (x k-l$+o (P2)-(12.75) i=i a=i Для каждого p, которое достаточно мало, достаточно доказать, что правая часть (12.75) положительна. (Это
означает, что в достаточно малой окрестности точки L10 разность f (M)-f (M0) положительна.§6. Локальные экстремумы 50» Xi-x t Привет.= = ——— , где 1=1,2,…. Затем следует следующее соотношение из Формулы ‘ P: l/i j c l,/ii2+ / i22+’ (12.74)…+ / им2=л. (12.76) С помощью введенных обозначений эквивалент (12.75) может быть переписан как tn t / ( M) — /(L40)=X^^A M+o^). (12.75) i=l L = 1 Отношения o (P2)/P2 бесконечно малы в функции p-0 (или L4-L4O) и обозначают это. a (R). Введение этой функции позволяет записать уравнение o (P2)=P2A (p), которое дает соотношение. (12.75) просмотр т. Ф(М) — ф (Af0)=Р2 [- я-у ikhihk+ОС(п) /=1-й=1 (12.75* * > К настоящему времени правая часть (12.75*) вся R мала enough.It нетрудно доказать, что она
положительна для квадратичной- т. Ная форма f=^G-это функция, которая определяется как- я=я=! Непрерывная на поверхности единичная сфера (12.76), которая разделена, замкнута и ограничена множеством. ПО-из второй теоремы Вейерштрасса (см. теорему 12.7 п. 3§3)это. Эта функция достигает заданного множества из положительного определения квадратичной формы (12.71), а также из того факта, что hi, h2, который задает ее точную нижнюю сторону P hi…, Hm, удовлетворяющий соотношению (12.76), не равен нулю в то же время, из чего следует, что указанная точная нижняя сторона C строго положительна. Бесконечно малая функция a(p) из P-0
удовлетворяет неравенству|a (p) / 0, f (hi», h2″,…, hm»)<0. (12.78) в s A m o m d e l e, по определению переменной квадратичной формы,//, есть два множества t2,… …. ТМ и Ти’, Т2′,…ТМ «состоит из чисел, в то же время не равных нулю, таких что f(L’,//,. . . (AP)>O, f (E», t2″,…, ТМ»)<0. (12.79)P / p G, (12.80)) V (ti) 2+(t>)2 + • • • + Oh (G) 2+ Ai», h2″, с hm’,…встречаются, hm «отношения(12.77) и (12.78), p>0, две точки M ‘(xi’, x2)… …, HT’) и M»(xi», x2″,… ИС (М, МО)=П(М», МО)=Р, На» X, — — — X;. X, — — — — X, „ ——— =ht, ———-= все i=l, 2 h t…об. Р Р Р Р Р (12.81) На самом деле, любой p>0 и положить для каждого числа i x’=Xi°+ph/, x «= xi°+ph»,§6.
Локальные экстремумы 5111 Мы удовлетворяем соотношению (12.81) и равенством (12.77) справедливо равенство p(M’g mo)=/(xj-x°) 2+(x’-x’G+•*. +(<- х^)2==р у(/11)2+(ЛГ)2+ • • • + (^Т)2-п, (ЛС М0)=Г(Х;-<+(<- Х°) 2+. . . +(x; -%^) 2= = R (y,) 2+(LG)2+ • • • + (LT) 2=p-теперь получается, что если вторая производная (12.69), (12.70), является знакопеременной квадратичной формой, то функция u=f (M) не имеет экстремального значения в точке Mo.
Смотрите также:
| Понятие m-мерного координатного и m-мерного евклидова пространств | Множества точек m-мерного евклидова пространства |
| Операторы в линейных и нормированных пространствах. | Понятие функции m переменных. |
