Оглавление:
Дифференцируемость функции нескольких переменных
- Приращение дифференцируемости u = f (xi, x2,…Точка M (XC x2, axi, Ax2, Всегда можно вычислить частичные приращения функции (например, в случае «граничной точки» области, показанной на рис. 12.2). В связи с вышеизложенным необходимо определить частные производные в граничных точках как пределы этих производных,
когда точки направлены к границе. Функции некоторых переменных. Функция (или полное приращение), HT) называется выражением-Oh, соответствующим аргументу* D и-f(X i4 — a x i, X G+D — ^2,•• * >Xm~[- Axm) f (X1, x2,….Хм). О П Р Е Д Е Л Е Н И Е. функция u = f(xb x2,…когда xm) называется, D и f f e R e n C и R u e m o y даны точки M (xi, x2,…, HT), если его полное приращение в этой точке можно представить
как Au=Ai Axi+D2ax2+… +MAxm — / — aiAxi — / — a2Ax2 -| -… — j-OmAXm,(12.14} N. Людмила Фирмаль
см. 1§3, выражения(12.5) и(12.6).§4. Производные и дифференциал 471 Где л], АГ…, В-некотором независимом DH], DH2,… Количество ДГТ,а»1,АГ,а»ничтожный из ДГ1->0,и dhg->0,… …Функция Dh1=DH2=when Dhto равна нулю — >0… DHT=0. Условие Дифференцируемости (12.14) этой функции также может быть
записано в другой форме. Для этого рассмотрим DX^O, Dx2 — > — *-0, бесконечно малое…, Одго->0, р=ДХ? + Ртуть+… +DX » * обратите внимание, что эта функция исчезнет только в том случае, если Dx1=Dx2=… … = DHT=0. Теперь посмотрим, что сумма a1dh1+a2hg+входит в правую часть соотношения (12.14)…+A T DHT является бесконечно малой функцией более высокого порядка по сравнению с p. другими словами, давайте убедимся, что эта сумма
- представляет выражение o(p). Фактически, при p^=0 неравенство— — — — — <1, следовательно * Геометрически эта функция называется точкой M (xlt x2,…X, t) и Ai'(xi+Axi, x2+DX2,…(, ХТ+ДГТ). **Если все DX равно нулю, то первая часть формулы (12.14) и все члены (12.15) равны нулю. П (о^ДХ! + a2dh2+.. . +яркий|< <{L » il+ / a2 | + • * * + / a,»|) p=o (R). Итак, условие Дифференцируемости функции (12.14)можно записать в следующем виде: Di=A1DH1-(-) u42dh2-(-… H — ^tdht — ^ — o (R). (12.15)в этом случае мы считаем, что значение o(p) равно нулю при p=0. Чтобы доказать, что условие (12.15)эквивалентно условию(12.14), необходимо убедиться, что выражение (12.15) следует за выражением (12.14). Для этого учтите, что не все DH1, DH2……DHT is * N * logistics
представит на Ноль. (R) — °(R)R2_°(R)A x I+LX2+•*■!+ _ П-п — п-п-п — п-п = dd_1DH1+G D(re ^_1DH2+… +Г Ц<Р). X t Л Р Р Ь Р Р Р ДЖ Самонадеянный -. учитывая, что — =a-Z и OC бесконечны P, P p — >0 (отсюда DH1 — >0, DH2 — >-0,…Функция DHT — >0) является представлением(12.14).472Ч. 12. Функции некоторых переменных Таким образом, дифференциальные условия функции могут быть записаны как (12.14) и (12.15). Если хотя бы одно из чисел L1, A2…, At не равно нулю, сумма равна L1D1+L2D * 2+… A~Atght является первой главой и является частью приращения дифференцируемой функции, будь то t e l n o p R s arg EN y A R g u M e n to v. заметим, что при определении понятия Дифференцируемости функций он не исключал возможности инверсии всех чисел
L1, A2…Если в нуле и приращение этой функции можно выразить как L1=(12.14) или (12.15), то 0, L2=0…, Если LT=0, то функция Людмила Фирмаль
дифференцируема в данной точке. Следующие теоремы справедливы. А12. 9 функция u=f(x\, x2,…, XT) дифференцируема в точках M (x\, X2, x t), и в этой точке существует частичная производная для всех аргументов,=L, DX,-Ai, являющаяся производной производной от условия Дифференцируемости функции (12.14) или (12.15). D o K a z a t e l s T V o. из условий Дифференцируемости функций в точках M (x\, x2,) (12.14) … в этой точке частное DX / I будет DX / I=Aiixxt+ai\x i. так что да, это:■=a {+AG, следовательно DHG — >0 of — >0, Лим — ^ — = — Д. Axz-O2 / dxt С Л Е Д С Т В и Е1. Условие Дифференцируемости функции в
данной точке M (12.15) можно записать в следующем виде: Di= — Dx1+ — ^ — D x2+… + ^ — \x, n+o (R). (12.16) DHG DH2HT С Л Е Д С Т В и Е2. Функция u = f (xi, x2,…X, xm), m (x\, x2,…, ХТ), потом его продать форма инкремента (12.14) и (12.15) является сингулярным. На самом деле коэффициент Ai этих представлений определяется в заданной точке M в di»,, равной частной производной -, и поэтому единственным способом. Убедитесь в справедливости следующих важных
характеристик дифференцируемых функций: Функция u = f (xi, x2,…, HT), точка M (xi, x2,…, HT), он непрерывен в этой точке. В этом случае из условия Дифференцируемости функции в точке (12.14) следует, что IGL Di=0, то есть OZNA- DH,->0……………….0, 4. Производные и дифференциал 473 Предполагается, что функция является непрерывной в M (см. параграф 1, 3 и выражение (12.7)).
Смотрите также:
