Оглавление:
Дифференцирование сложной функции
- Дифференцирование сложных функций. Установите правило, позволяющее найти производную комплексной функции* / = / [<01 в точке I, составляющие ее функции x=0. Подчеркнем, что выражение(5.14) справедливо для DX=0, как описано в пункте 1 2. Деление (5.14)на A / #=0 приведет к 4г==/'(х)4г+а (х)4г — (5L5 ) ЛЯ^
Докажем, что правая (и, следовательно, левая) часть(5.15) имеет предел до/->0, и что этот предел равен значению, которое находится в правой части (5.13). Это доказывает Дифференцируемость комплексной функции и формулы ее производных(5.13).
Это связано с Дифференцируемостью функции x=f (^) в точке I, которая Людмила Фирмаль
ограничивает отношение к0A. остается доказать, что функция a (Ah) имеет предел D^O, равный нулю,но это основано на виде дифференциальных непрерывных условий, дифференцируемых в точке/функцииx*=f(O так, вся правая часть(5.15)имеет предел в/ — >-0, и этот предел равен значению, равному в стоячем праве(5.13).Этот предел
равен значению правой части. Теорема доказана. З а м е ч а н и Е1. Теорема 5. 3 и правила вычисления производных комплексных функций, входящих в его формулировку, непрерывно переносятся на комплексные функции, являющиеся суперпозициями трех и более функций. Таким образом, для комплексной функции, являющейся
- суперпозицией трех функций g/=N / g(f(/g)], дифференциальное правило принимает вид{/W(0)]}’=0(f (/))] G(f(0)f'(0). (5.16)кроме того, формула (5.16)справедлива, если функция x=f (/) дифференцируема в данной точке I, функция p/(x) дифференцируема в соответствующей
точке x = f ( / ), функция g/==P (I)является обратной дифференциальной функции и соответствующей комплексной функции. З а м е ч а н и Е2. При доказательстве теоремы 5. 3, я подумал о сложной функции в виде y=] (x). она обозначается x=y (1), то есть знаком x p R o m e f u t o h n y y аргумент. Эту символику, конечно, можно изменить.
Чаще всего удобнее указывать последний аргумент в символе x.в этих Людмила Фирмаль
обозначениях правила дифференцирования сложных функций (5.13) принимают вид: SHF (x)]}’=L f (x)]-f'(x). *)(5.13 * Указанный идентификатор может быть записан для любых двух цифр Du и DX, отличных от нуля. Пример применения правила дифференцирования сложных функций описан в следующем параграфе.
Смотрите также:
Методическое пособие по математическому анализу
| Дифференциалы высших порядков | Открытые и замкнутые множества |
| Понятие модуля непрерывности функции | Понятие компактности множества |
