Оглавление:
Дифференциалы высших порядков
- Более высокий пользовательский дифференциал. В приведенном выше примере мы использовали для обозначения производной аргументов функции■и=f(xi, x2,… Для обозначения разности самой этой функции используется символ dxI(dx2…… Dxm и du соответственно. Теперь нам нужно использовать другие символы для обозначения дифференцирования аргументов данной функции и
дифференцирования самой функции. В частности, мы будем обозна — §5. Производные и дифференциал высшего порядка 491 Найти производную аргумента функции m= / (x x2,…Дифференциация самой этой функции по символу bh2bh2…BHS и bi, соответственно. В этих обозначениях форма инвариантна первой производной (12.20)
этой функции(см. пункты 7,§3 Вернемся к предыдущей записи и рассмотрим формулу (12.20) для первой производной, Людмила Фирмаль
дифференцируемой в данной точке M (xi, x2,XT) функцией u=/(xi, x2,)…, HT): du= — dx1+dx2+… +ДХМ. (12.20 утра)) ДИГИДРОТЕСТОСТЕРОН ДГТ И DHG Предположим, что значение, стоящее справа (12.20), является функцией аргумента Xi, x2…, Учитывая точки L1 (X1, x2,…, ХТ). Функция u = f (xi, x2,), которая может быть requested…Al (xi, x2, HT) был дважды дифференцируемым в данной точке…, HT), и[X], x2,…HT была либо независимой переменной, либо дважды дифференцируемой
функцией некоторой независимой переменной t\, t2,…, ТЗ. Дифференциал, который позволяет нам думать о связи между этими предположениями Тонны *=1 Размер (12.20). О П Р Е Д Е Л Е Н и Е1. Значение производной от первой производной (12.20) b (du), 8xi=dxi, (>x2=dx2,…8xm=dxm, вторая d I f f e R e n C I a l o m функция I= — x2 называется…, HT) (M (x\, x2, в этом отношении…И символ d2u. Итак, по определению * d2u=b (du）) *=1 Sx^dx,, 6×2 = dx2, &Xi^=dxu 6l m=d×m-
- Дифференциальный dnu любого Порядка n вводится индукцией. *Символ{}означает, что выражение, заключенное в интернет- 6x, dx «6×2=dx2,» x t=^t Фигурные скобки должны быть 6×1=dxi, 6×2=dx2……6xm = dxm.492Ч. 12. Функции некоторых переменных Дифференциал dn-lu Порядка * n-1 уже введен, и функция u = f(xi, x2…… XT) заданная точка в дифференцируемом n раз M\x\, x2,■■, XT) и ее аргументы XY x2, XT-независимая переменная или некоторые независимые переменные t\, t2, N-кратной дифференцируемой функции… • * * , ТК. О П Р Е Д Е Л Е Н и Е2. Значение §(Dn~Au)принимается как разность
между (n—1) — м dn~xu,§x=dx\, 6×2=dx2… …, 8xm=декстрометорфана, р-м д и Ф Ф Е Р Е Н Ц И Л О М функции и=^Ф (Х {, Х2,…, xm) (заданная точка M (x {, x2,…указывает, xmjjj и символ ду у. Итак, по определению dn » =S (dn-1u) BX,=a1. 6×2=dx2, 1) аргумент XC × 2, в случае: два случая должны быть значительно различены…2) аргумент Xi, x2, где HT-независимая переменная…HT является дифференциальной функцией нескольких независимых переменных L, соответствующих временам t2…Т. Давайте сначала рассмотрим первый случай. Если Xi, x2…. HT является независимой переменной, то мы вправе предположить, что dxi, dx2,…, dxm не зависит от Xi, x2…, ХТ. Все различия dx^одинаковый инкремент LX&все точки M (x\,x2…….HT да что с тобой такое?
При этом мы получаем его Тонны Правило дифференцирования, Людмила Фирмаль
установленное в конце последнего соотношения и параграфе 7§3, позволяет записать функцию u=f (xi, x2, дважды дифференцируемую в данной точке m)…, HT), следующая цепочка равенства:§5. Производные и дифференциал высшего порядка 493 bxx=dxu т. m tn К-Л И-Л fe=l i = l dX jSsdX j, = пароход fe=l fc=l 52i<< —— dxidxi,. dXidxt З а м е ч а н и Е т. K=1 (Мы также воспользовались тем, что в дважды дифференцируемой функции смешанная производная второго порядка не зависит от порядка, в котором производится производная.) Итак,в случае аргумента XY X2 он получается…, XT-независимая
переменная, для второй производной производной функции дважды в данной точке,= = f(xt, x2,…, ХТ) справедливо представление т. (1 2L4 ) я=л Fe=я 1. Переменные L,^2,—, t вида h, где a-K-постоянное вещественное число, называются переменными t\, t2, из d R A t и h n-го o R m-го K…, ТЗ,.А число * a — это его коэффициент. * Эта квадратичная форма симметрии следует уравнению (M)=■..(М)■ ■dxtdxk dx dx dx dx Квадратичная форма называется таковой для si m M ETR и h n o y. коэффициент является условием aik^dki(все i= = 1,2,…,т;к=1,2,…(Т, т). Полученная нами формула (12.44) может
претендовать на нее в случае аргумента XY x2…Вторая производная дважды дифференциальна: функция u=f (xi, x2,…, HT) — симметричная*, квадратичная форма от переменных dxi, dx2,… …, dxm, коэффициент которого равен соответствующему квадратичному частичному дифференциалу функции W=/(X1, x2,… , HT), взятый;M в это время. Это уравнение, полученное для производной.Квадратичная (12.44) может быть переписана в другой форме, используя формальные символы d=dx1— + dx, -^ -+… +декстрометорфана -?- ‘(12.45)DHG DH2dht494GL. 12. Функции некоторых переменных Вы можете использовать этот символ, чтобы переписать выражение (12.44) как d2u_=[dx1-^-+dx2 -^ —
++… +dxm-и. (12.46)\dxx<) X2dxm) аргумент Xi, x2, по индукции…Данная точка L4 (X], x2, n умножается на дифференциал HT… Функция u = f (xi, x2,…, XTO) является независимой переменной, и для n-й производной этой функции выражение является действительным Это представление может быть переписан с использованием официальных символов (12.45) следующим образом Совершенно другой вид имеет выражение аргумента [X], второе в случае x2 и последующий дифференциал…Функция U HT=f (xi, x2,…
Соответствующий двойник независимых переменных t\, t2, является дифференцируемой функцией…, ТЗ. Обратившись к этому случаю, можно сделать вывод, что заданные точки L1 (X1, x2,… Функция u = f (xi, x2,…, HT), аргумент H2,… …И некоторые независимые переменные/HT, из которых дважды дифференцируемая функция 2…, ТЗ. Повторите рассуждения из цепочки (12.43), теперь Sx^dx,, 6x, dx„ Sx^dx,, BX,=^x,, Заметим, что согласно определению второй производной функции=Xk (где k-1, 2, что является одним из чисел…,t) [6 (dxfe) j SXi=dXi> — d2xk.§5. Производные и дифференциальные
высшего пользовательские 495 Учитывая это отношение, мы приходим к следующему выражению для второго различия: т. /g=1i = l d2i DH Тонны d x i d x k-t Или (используя знак (12.45))) А=1 Если мы сравним выражение (12.48) и выражение (12.46), то увидим, что (в отличие от первой производной) вторая производная уже не обладает свойством инвариантности формы. Кроме того, все последующие производные не обладают свойствами инвариантности формы. З а м е ч а н и Е2. Мы показываем важный частный случай, когда второе и последующее дифференцирование функции t переменных=f (xi, x2,…
, HT) по-прежнему имеет форму неизменности и определяется той же формулой (12.47), что и в случае независимой переменной Xi, x2…, ХТ. Будем говорить, что переменная XY x2,… ХТ-это Ф у Н К Ц и я М Л И Н Ы и независимой переменной ті, Т2,…, Если она определяется равенством x,=a, — o+a (-1^1+a»2^2+ — L-AC)..(Т)-О, через ап…Показаны некоторые константы. Функция u = f (xi, x2,…, ХТ)является дифференцируемой N-кратного в заданной точке Л4(х, у, Х2, ХТ) и ее аргументов ХІ, Х2,…X-линейная функция независимых переменных t\, t2…, tk, то N-я производная функции u=f (xi, x2,… …, HT) определяется той же формулой (12.47), что и для независимой переменной Xj, x2…, ХТ. Д л я у б е д и т с я замечу, что в этом М, Т\, Т2, с…, tk-независима
я переменная, и тогда N-я производная Xt является функцией аргументов L, t2…, ТЗ определяется равенством типов(12.47), точнее, равенством dnxt=(dtl+dti+■+dtkp1′ Однако частичное дифференцирование выше первого порядка линейной функции xt равно нулю. Так что d2Xi=0, d3x;=0,…dn x,=0,496 CH. 12. Функции некоторых переменных Знак равенства d2xi=0 (Все i-1 2,…, t) и выражение(12.48) дает право заключить, что d2u определяется эквивалентностью (12.46). Точно так же d3x(=0,… … по индукции dnXi=0, d3u, d4u, dn U оказываются определенными равенством (12.47). З а м е ч а н и Е3. При выполнении вычислений может возникнуть
необходимость расшифровать уравнение (12.47), и если найдутся члены, соответствующие этому уравнению, то все различные члены этого уравнения будут преобразованы в них. Для этой цели может быть использован Ф О Р М У Л А Полин Ом А Н-К Н А, имеющий вид (АГ+А2+.. . +am) n= Тонны (Сумма справа от этого выражения будет равна всем целочисленным индексам x, A2… Если сумма всех этих показателей равна ai+a2+, то каждый из них удовлетворяет неравенству… +A t равно p) формулу (12.49)нетрудно установить методом индукции. Фактически, для t=2 и всех p это выражение, очевидно, верно, поскольку оно входит в известное выражение бинома Ньютона. Предположим, что это выражение допустимо для некоторого числа W>2 и любого целого числа n, и убедитесь, что оно допустимо для t+1 и любого целого числа n в этом случае.
Смотрите также:
| Метод «вилки» | Методы хорд и касательных |
| Метод итераций | Вводные замечания |
