Оглавление:
Дифференциалы высших порядков
- Дифференциалы более высокого порядка. В приведенном выше примере мы использовали символы (1x и, соответственно, Yu) для обозначения дифференцирования аргументов и соответствующего дифференцирования функций. При обсуждении этого пункта необходимо использовать другие символы для обозначения
производной аргумента и соответствующей производной функции. В частности, дифференциал аргументов и соответствующие им функции обозначаются символами bx и BU соответственно. В этих обозначениях инвариантное по форме выражение
первой производной функции y=/(x) имеет вид BU== / ‘(x) BX. 4 рассмотрим Людмила Фирмаль
выражение первой производной дифференцируемой в этой точке x функции y= / (x):<D/=)'(x) b / X. (5.50) значение, стоящее справа (5.50), является производной порядка 219 и дифференциально выше функции дифференцируемого аргумента x в этой точке X Это дважды дифференцируемая функция некоторой независимой переменной I.
Дифференциал, который позволяет нам думать о связи между этими предположениями б(л/)=б[/х (х)^х]размер(5.50). О П Р Е Д Е Л Е Н и Е1. 8(Yu)значение производной от первой производной(5.50), взятой с 6x=DX, ‘ называется второй производной функции y=[(x) (в этой точке x) обозначается символом SRU. Итак, по определению* * Символ{…}|BX=Ah означает, что выражение, заключенное в фигурные
- скобки, равно&x=Ah. (Ру=б(ю)|&ч=А={Б[г (х)ДХ]}16х^Х. Дифференциальный s1pu любого Порядка N вводится по индукции. Дифференциал DP-1U Порядка n-1 уже был введен, и функция y= / (x) является N-кратной дифференцируемой в данной точке x, аргумент x которой является N-кратным дифференцированием независимой переменной или независимой переменной I. О П Р Е Д Е Л Е Н и Е2. 8(S1P в]г)дифференциальная (П—1) — го дифференциальных Д^Г, принятые ВХ-ДХ,называется п-м д и Ф Ф Е Р Е Н Ц И Л О М(Г=СХ) (на
данный момент Х)обозначается символом певце. Таким образом, по определению<1pu=b(d ‘ 1-1y) при вычислении второй и последующих производных следует справедливо различать два случая:1)аргумент x не зависит от производной производной. В первом случае, если x-независимая переменная, то вы вправе предположить, что DX не выходит за пределы b и C и t x, но равен одному и тому же приращению аргумента Ah (для всех точек x).
В этом случае 6 (b / x)=(b/x)’BX=0. Конец отношения и второе отношение(5.28), равенство Людмила Фирмаль
следующей цепи может быть записано:d2u=b(Yu)16x=<C={b[/'(x)DX]}|6%=yx=={b[/'(x)]DX+/'(x)b(yx)} 15x===Ah(b[/'(x)) DX={/(2) (xhhh)} (5.51) следовательно, аргумент x является независимым переменная, если функция G/=/(X)второй производной для ее представления включена. б/2У=Р (х) (б/х) 2. (5.52) 220 ч. 5. Дифференциальное исчисление Точно так же, по индукции, если аргумент x является независимой переменной, легко увидеть, что N-я производная функция y===(x) является истинным выражением y»1/=/<n) (x) (0).(х) С. Итак, если аргумент x является независимой
переменной, то производная Порядка n функции y=/(x) равна отношению N-й производной этой функции c1pu к n-й производной аргумента Ah. Выражение второй и последующей производной имеет совершенно другой вид, если аргумент x является соответствующей функцией множественной производной независимой переменной I. Предположим, что функция y= / (x) дважды дифференцируема в данной точке x, а ее аргумент x является дважды дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной I, то используется выражение для второй производной. Если вы повторите вывод из
цепочки (5.51), на этот раз A2U=6 (Lu)|={6 [/'(X) Ah]}16x={d [/'(x)] Ah+/'(x)’| ‘ (x) d (Ah)}/yx==={/(2) (x) DHB/x}16x=Ah+{/'(x) d (Ah)} 16x=. Заметим, что это связано с определением второй производной функции y=x Б (а)\6х=х=A2x. Учитывая это соотношение, приходим к следующему выражению: (p y=^) (x) (x) 2+[‘(x) A2x.если сравнить полученное выражение (5.53) с выражением (5.53) и выражением (5.52) , то вторая производная (в отличие от первой) уже не является Кроме того, последующее дифференцирование не обладает свойством инвариантности формы.
Смотрите также:
